Esercizio Hopital e Lagrange
Salve sono Nuova, mi sono iscritta per rimediare, insieme al vostro aiuto, alle mie difficoltà: oggi il prof di matermatica, premetto che frequento la ragioneria, ha segnato e non ha spiegato il teorema di lagrange e hopital e adesso trova difficoltà nel farli, pertanto vi chiedo di aiutarmi 
y= $sqrt(x)$
Intervallo (1,4)Svolto con il teorema di Lagrange
$\lim_{n \to \0}(a^x-b^x)/x$ Svolto con il teorema del Hopital
Ringranzio
y= $sqrt(x)$
Intervallo (1,4)Svolto con il teorema di Lagrange
$\lim_{n \to \0}(a^x-b^x)/x$ Svolto con il teorema del Hopital
Ringranzio
Risposte
ciao Mary!
Cominciamo con il Teorema di De l'Hopital
Anzitutto una nota storica devi sapere che De L'Hopital era un ricchissimo marchese e in realtà il teorema che porta il suo nome lo scrisse J.Bernoulli che era il suo insegnante, uno dei famosi fratelli Bernoulli... che gli vendette per così dire la "scoperta" per dei bei soldini... da allora è noto come Teorema di De L'Hopital ma non dimentichiamoci chi fu il primo a formularlo... storia di soldi insomma...
Il Teorema afferma che se tu hai un rapporto di due funzioni $(f(x))/(g(x))$ e il limite di questo rapporto è una forma indeterminata che non sai risolvere... se f e g sono entrambe continue e derivabili... se g e g' sono diverse da zero nel punto dove devi fare il limite... allora hai la seguente identità
$lim (f(x))/(g(x))= lim (f'(x))/(g'(x))$
cioè il limite dela rapporto è uguale al limite del rapporto delle derivate.
Quindi derivi sopra e sotto
Nel tuo caso hai la forma indeterminata $0/0$ quindi scriviamo
$lim_(x->0) (a^x-b^x)/x=lim_(x->0)(a^x ln a-b^x ln b)=lna-lnb=ln(a/b)$
hai capito finora??
Per quanto riguarda il teorema di Lagrange invece si parla di tutt'altro
Anzitutto Lagrange è una gloria tutta torinese... molti pensano sia francese ma è nato a Torino nella via che oggi porta il suo nome e si trasferì a Parigi dopo i 18 anni diventando il matematico che tutti conosciamo.. così perchè mi piace dare delle note storiche
Se hai una funzione f(x) continua e derivabile in un intervallo (a,b) il teorema afferma che è sempre possibile trovare un punto c all'interno di tale intervallo (a,b) tale che
$f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$
ora, per il tuo esercizio, mi sta bene la funzione radice quadrata MA ci devi dare l'intervallo (a,b) che ovviamente non può essere (-1,4) perchè in x=-1 la funzione non è definita... riguarda l'esercizio che così non possiamo risolverlo e scrivi l'intervallo (a,b)... immagino poi che l'esercizio consista nel trovare il punto c di cui sopra...
tutto chiaro?
Attenta che sono due teoremi di importanza capitale, sono due "pietre miliari" della matematica devi capirli molto bene ti serviranno tanto nella tua vita!! Se non hai capito qualcosa chiedi che spieghiamo meglio
ciao!!
Cominciamo con il Teorema di De l'Hopital
Anzitutto una nota storica devi sapere che De L'Hopital era un ricchissimo marchese e in realtà il teorema che porta il suo nome lo scrisse J.Bernoulli che era il suo insegnante, uno dei famosi fratelli Bernoulli... che gli vendette per così dire la "scoperta" per dei bei soldini... da allora è noto come Teorema di De L'Hopital ma non dimentichiamoci chi fu il primo a formularlo... storia di soldi insomma...
Il Teorema afferma che se tu hai un rapporto di due funzioni $(f(x))/(g(x))$ e il limite di questo rapporto è una forma indeterminata che non sai risolvere... se f e g sono entrambe continue e derivabili... se g e g' sono diverse da zero nel punto dove devi fare il limite... allora hai la seguente identità
$lim (f(x))/(g(x))= lim (f'(x))/(g'(x))$
cioè il limite dela rapporto è uguale al limite del rapporto delle derivate.
Quindi derivi sopra e sotto
Nel tuo caso hai la forma indeterminata $0/0$ quindi scriviamo
$lim_(x->0) (a^x-b^x)/x=lim_(x->0)(a^x ln a-b^x ln b)=lna-lnb=ln(a/b)$
hai capito finora??
Per quanto riguarda il teorema di Lagrange invece si parla di tutt'altro
Anzitutto Lagrange è una gloria tutta torinese... molti pensano sia francese ma è nato a Torino nella via che oggi porta il suo nome e si trasferì a Parigi dopo i 18 anni diventando il matematico che tutti conosciamo.. così perchè mi piace dare delle note storiche
Se hai una funzione f(x) continua e derivabile in un intervallo (a,b) il teorema afferma che è sempre possibile trovare un punto c all'interno di tale intervallo (a,b) tale che
$f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$
ora, per il tuo esercizio, mi sta bene la funzione radice quadrata MA ci devi dare l'intervallo (a,b) che ovviamente non può essere (-1,4) perchè in x=-1 la funzione non è definita... riguarda l'esercizio che così non possiamo risolverlo e scrivi l'intervallo (a,b)... immagino poi che l'esercizio consista nel trovare il punto c di cui sopra...
tutto chiaro?
Attenta che sono due teoremi di importanza capitale, sono due "pietre miliari" della matematica devi capirli molto bene ti serviranno tanto nella tua vita!! Se non hai capito qualcosa chiedi che spieghiamo meglio
ciao!!
L'esercizio da svolgere con il teorema di Lagrange non è completo, mancano gli estremi dell'intervallo, e, certamente, quella non è la soluzione. Per cortesia potresti scrivere il testo in forma completa?
Anche nell'esercizio da risolvere con il teorema di De L'Hospital c'è un errore nel testo, ma si vede chiaramente che si tratta di un errore di battitura, se nella funzione c'è la $x$ probabilmente il limite è per $x->0$, quindi comincio da lì:
il teorema dice che se $f(x)$ e $g(x)$ sono continue e derivabili in un intorno di $x_0$, $\lim_{x \to \x_0}f(x)=0$ e $\lim_{x \to \x_0}g(x)=0$ allora $\lim_{x \to \x_0}f(x)/g(x)=lim_{x \to \x_0}(f'(x))/(g'(x))$. Nel caso in esame la prima funzione è $f(x)=a^x-b^x$ mentre la seconda è $g(x)=x$ entrambe le funzioni sono continue e derivabili e tendono a 0 quando x tende a 0, sono soddisfatte le ipotesi del teorema perciò possiamo scrivere che
$\lim_{x \to \0}(a^x-b^x)/x=\lim_{x \to \0}(D(a^x-b^x))/(D(x))=\lim_{x \to \0} (a^x lna- b^x lnb)/1=a^0 lna- b^0 lnb=ln a-lnb$
Anche nell'esercizio da risolvere con il teorema di De L'Hospital c'è un errore nel testo, ma si vede chiaramente che si tratta di un errore di battitura, se nella funzione c'è la $x$ probabilmente il limite è per $x->0$, quindi comincio da lì:
il teorema dice che se $f(x)$ e $g(x)$ sono continue e derivabili in un intorno di $x_0$, $\lim_{x \to \x_0}f(x)=0$ e $\lim_{x \to \x_0}g(x)=0$ allora $\lim_{x \to \x_0}f(x)/g(x)=lim_{x \to \x_0}(f'(x))/(g'(x))$. Nel caso in esame la prima funzione è $f(x)=a^x-b^x$ mentre la seconda è $g(x)=x$ entrambe le funzioni sono continue e derivabili e tendono a 0 quando x tende a 0, sono soddisfatte le ipotesi del teorema perciò possiamo scrivere che
$\lim_{x \to \0}(a^x-b^x)/x=\lim_{x \to \0}(D(a^x-b^x))/(D(x))=\lim_{x \to \0} (a^x lna- b^x lnb)/1=a^0 lna- b^0 lnb=ln a-lnb$
y= √x
Intervallo (1,4)Svolto con il teorema di Lagrange.
Soluzione x=9/4
Intervallo (1,4)Svolto con il teorema di Lagrange.
Soluzione x=9/4
OK Mary
Anzitutto ti è chiaro quanto ti abbiamo già scritto io e @melia? non dici nulla a riguardo ma hai capito la parte riguardante l'Hopital?
Poi per quanto riguarda Lagrange, ti riscrivo quanto ti ho già detto
Se hai una funzione f(x) continua e derivabile in un intervallo (a,b) il teorema afferma che è sempre possibile trovare un punto c all'interno di tale intervallo (a,b) tale che
$f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$
Quindi essendo $f(x)=sqrt(x)$ e $(a,b)=(1,4)$ abbiamo
$f(b)=f(4)=sqrt(4)=2$ poi
$f(a)=f(1)=sqrt(1)=1$ poi
$b-a=4-1=3$ quindi nel tuo punto $c=(x_c,y_c)$ la derivata della funzione sarà
$f'(c)=(2-1)/3=1/3$
ma essendo (facendo la derivata della funzione radice)
$f'(x)=1/(2 sqrt(x))$ abbiamo la uguaglianza
$1/3=1/(2 sqrt(x_c))$ da cui
$x_c=9/4$
quindi il tuo punto c avrà coordinate $c(9/4,3/2)$
hai capito tutto?? Mi raccomando sono due teoremi importantissimi se non ti è chiaro qualcosa dillo!!
ciao!!
Anzitutto ti è chiaro quanto ti abbiamo già scritto io e @melia? non dici nulla a riguardo ma hai capito la parte riguardante l'Hopital?
Poi per quanto riguarda Lagrange, ti riscrivo quanto ti ho già detto
Se hai una funzione f(x) continua e derivabile in un intervallo (a,b) il teorema afferma che è sempre possibile trovare un punto c all'interno di tale intervallo (a,b) tale che
$f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$
Quindi essendo $f(x)=sqrt(x)$ e $(a,b)=(1,4)$ abbiamo
$f(b)=f(4)=sqrt(4)=2$ poi
$f(a)=f(1)=sqrt(1)=1$ poi
$b-a=4-1=3$ quindi nel tuo punto $c=(x_c,y_c)$ la derivata della funzione sarà
$f'(c)=(2-1)/3=1/3$
ma essendo (facendo la derivata della funzione radice)
$f'(x)=1/(2 sqrt(x))$ abbiamo la uguaglianza
$1/3=1/(2 sqrt(x_c))$ da cui
$x_c=9/4$
quindi il tuo punto c avrà coordinate $c(9/4,3/2)$
hai capito tutto?? Mi raccomando sono due teoremi importantissimi se non ti è chiaro qualcosa dillo!!
ciao!!
Grazie mille ho capito finalmente il teorema dell Hopital ma non mi è chiaro come si svogle l uguaglianza del teorema di Lagrange 
Se la funzione è continua e derivabile e l'intervallo è limitato devi applicare i dati alla formula $f'(c)= (f(b)-f(a))/(b-a)$, se leggi attentamente l'intervento di mazzarri vedi che ha calcolato ogni singola parte della formula, per poi mettere insieme tutti i pezzi e risolvere l'equazione per calcolare $c$
Volevo sapere come ha risolto l equazione?
ciao Mary!!
Allora andoamo con ordine...
prendi la tua funzione $f(x)=sqrt(x)$ e la sua derivata $f'(x)=1/(2 sqrt(x))$
tu hai lintervallo (a,b) che è nel tuo esercizio (1,4)
devi calcolare quanto vale la funzione in 4 e in 1 che sono i tuoi b e a...quindi
$f(b)=f(4)=sqrt(4)=2$
$f(a)=f(1)=sqrt(1)=1$
inoltre hai $b-a=4-1=3$
fin qui tutto chiaro??
adesso applichiamo Lagrange (lo possiamo fare perchè la tua funzione radice quadrata nell'intervallo (1,4) è sicuramente continua e derivabile) e diciamo che esiste un punto c di coordinate $(x_c,y_c)$ interno all'intervallo (1,4) tale che
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$ e sostituendo tutto viene
$f'(c)=(2-1)/3=1/3$
fin qui tutto ok??
Adesso sai che nel punto c la tua derivata vale 1/3 e da qui bisogna trovare le coordinate del punto c... allora siccome sai che la derivata della FUNZIONE originale è $f'(x)=1/(2sqrt(x))$ scrivi
$f'(x_c)=1/(2sqrt(x_c))=1/3$
e risolvendo passo passo hai
$2 sqrt(x_c)=3$
$sqrt(x_c)=3/2$
$x_c=9/4$
che è la coordinata ascissa del tuo punto c... la sua ordinata sarà $y_c=sqrt(x_c)=sqrt(9/4)=3/2$
adesso è più chiaro???
Vorrei anche aggiungere una ulteriore cosa importante, il significato geometrico di tale Teorema. Spesso viene chiesto a lezione o agli esami... mi piacerebbe poter inserire un disegno ma non riesco... cercane qualcuno in rete... il significato geometrico è questo: se una funzione è continua e derivabile in (a,b) allora è sempre possibile trovare un punto c interno ad (a,b) tale che la TANGENTE alla curva della funzione in c sia parallela alla retta che unisce a e b
ciao!!
Allora andoamo con ordine...
prendi la tua funzione $f(x)=sqrt(x)$ e la sua derivata $f'(x)=1/(2 sqrt(x))$
tu hai lintervallo (a,b) che è nel tuo esercizio (1,4)
devi calcolare quanto vale la funzione in 4 e in 1 che sono i tuoi b e a...quindi
$f(b)=f(4)=sqrt(4)=2$
$f(a)=f(1)=sqrt(1)=1$
inoltre hai $b-a=4-1=3$
fin qui tutto chiaro??
adesso applichiamo Lagrange (lo possiamo fare perchè la tua funzione radice quadrata nell'intervallo (1,4) è sicuramente continua e derivabile) e diciamo che esiste un punto c di coordinate $(x_c,y_c)$ interno all'intervallo (1,4) tale che
$f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)$ e sostituendo tutto viene
$f'(c)=(2-1)/3=1/3$
fin qui tutto ok??
Adesso sai che nel punto c la tua derivata vale 1/3 e da qui bisogna trovare le coordinate del punto c... allora siccome sai che la derivata della FUNZIONE originale è $f'(x)=1/(2sqrt(x))$ scrivi
$f'(x_c)=1/(2sqrt(x_c))=1/3$
e risolvendo passo passo hai
$2 sqrt(x_c)=3$
$sqrt(x_c)=3/2$
$x_c=9/4$
che è la coordinata ascissa del tuo punto c... la sua ordinata sarà $y_c=sqrt(x_c)=sqrt(9/4)=3/2$
adesso è più chiaro???
Vorrei anche aggiungere una ulteriore cosa importante, il significato geometrico di tale Teorema. Spesso viene chiesto a lezione o agli esami... mi piacerebbe poter inserire un disegno ma non riesco... cercane qualcuno in rete... il significato geometrico è questo: se una funzione è continua e derivabile in (a,b) allora è sempre possibile trovare un punto c interno ad (a,b) tale che la TANGENTE alla curva della funzione in c sia parallela alla retta che unisce a e b
ciao!!
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