Esercizio goniometria
Dimostrare geometricamente che per $0°<=alpha<=90°$ si ha $sinalpha+cosalpha>=1$.
Sappiamo che nella circonferenza goniometrica, limitatamente al primo quadrante, i valori di seno e coseno di un angolo $alpha$ corrispondono ai cateti del triangolo rettangolo la cui ipotenusa forma con l'asse $x$ l'angolo $alpha$. Siccome tale ipotenusa è sempre $1$, la somma dei cateti è sempre $<1$, tranne quando il triangolo degenera in uno dei cateti (ovvero l'ipotenusa viene a coincidere con esso mentre l'altro cateto diventa $0$) e si ha che la somma dei cateti è $1$.
È giusta come dimostrazione?
Sappiamo che nella circonferenza goniometrica, limitatamente al primo quadrante, i valori di seno e coseno di un angolo $alpha$ corrispondono ai cateti del triangolo rettangolo la cui ipotenusa forma con l'asse $x$ l'angolo $alpha$. Siccome tale ipotenusa è sempre $1$, la somma dei cateti è sempre $<1$, tranne quando il triangolo degenera in uno dei cateti (ovvero l'ipotenusa viene a coincidere con esso mentre l'altro cateto diventa $0$) e si ha che la somma dei cateti è $1$.
È giusta come dimostrazione?
Risposte
mi sembra tutto corretto, tranne questa svista (errore di battitura sicuramente):
'la somma dei cateti è sempre <1' che leggo nel tuo post.
'la somma dei cateti è sempre <1' che leggo nel tuo post.
Grazie codino.
Avrei un altro esercizio da fare:
Calcolare $sin(arctanfrac{2x}{sqrt(1-4x^2)})$
Avrei un altro esercizio da fare:
Calcolare $sin(arctanfrac{2x}{sqrt(1-4x^2)})$
Cerco di aiutarti senza spiattellarti la risposta..
Considerando che l'arctang è un angolo, potresti porre $alpha=arctang(frac{2x}{sqrt(1-4x^2)})$.. allora il nostro esercizio ci chiede di trovare semplicemente $sin(alpha)$!
Ora ti è più chiaro cosa fare?
Considerando che l'arctang è un angolo, potresti porre $alpha=arctang(frac{2x}{sqrt(1-4x^2)})$.. allora il nostro esercizio ci chiede di trovare semplicemente $sin(alpha)$!
Ora ti è più chiaro cosa fare?
Quindi applico la formula per trovare il seno conoscendo la tangente...tutto chiaro. Grazie!
Se no anche, considderando il solito cerchio con seno e coseno i cateti
$sqrt(cat1*cat1+cat2*cat2)=1$
$cat1+cat2=x$ che elvata al quadrato da $(cat1*cat1+cat2*cat2+2cat1*cat2)=x*x$ e quindi $x=sqrt(cat1*cat1+cat2*cat2+2cat1*cat2)$.
Confrontando le due espressioni risulta che nel secondo caso c'è in più 2cat1*cat2 che non potendo essere negativo ma al massimo nullo conferma la tesi.
$sqrt(cat1*cat1+cat2*cat2)=1$
$cat1+cat2=x$ che elvata al quadrato da $(cat1*cat1+cat2*cat2+2cat1*cat2)=x*x$ e quindi $x=sqrt(cat1*cat1+cat2*cat2+2cat1*cat2)$.
Confrontando le due espressioni risulta che nel secondo caso c'è in più 2cat1*cat2 che non potendo essere negativo ma al massimo nullo conferma la tesi.
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