Esercizio geometria (265044)

[ALEALEALE01]

esercizio geometria

Chiedo se c'è qualcuno che sa risolvere questo esercizio di geometria:

"Su una circonferenza di centro O e diametro AB considera la corda BC e la retta t tangente alla circonferenza in C. La parallela a BC passante per O interseca t in P. Dimostra che PA è la tangente alla circonferenza in A."


Grazie, Alessandro

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Ciao Alessandro,
ecco la dimostrazione

Consideriamo il triangolo ABC inscritto nella semicirconferenza di diametro AB.
Esso è rettangolo in C.
Si ha che:
PĈA ≅ CB̂A ≡ OB̂C = α
perché angoli che insistono sullo stesso arco AC
(il primo con i lati uno secante e uno tangente, il secondo con i lati entrambi secanti.)
Ma
OB̂C ≅ OĈB = α perché OCB è isoscele su BC, quindi per transitività risulta
PĈA ≅ OĈB = α

Detta H l'intersezione di AC e OP, il triangolo PCO ha
PĈH ≅ HĈO
Essendo HĈO = 90° - α
Il triangolo PCO è quindi rettangolo in C
CÔP ≅ CÔB = α perché alterni interni delle parallele BC, OP tagliate da OC
L'angolo al centro CÔA è il doppio di PĈA e misura 2α, quindi
PÔA = α

Consideriamo i triangoli PCO e PAO. Essi hanno
OP in comune
OC ≅ OA (raggi)
CÔP ≅ AÔP = α
e sono quindi congruenti per il primo criterio.

Allora il triangolo PAO è rettangolo in A
Poiché PA ⊥ OA, il raggio OA è perpendicolare a PA in A .
Pertanto la retta PA è tangente alla circonferenza in A


saluti :-)