Esercizio Funzioni
Ciao ragazzi!
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio: "Dimostrare che la funzione y = x^2-4x definita da R in R non è iniettiva, né suriettiva. In seguito modificare il dominio e il codominio in modo da renderla biiettiva".
Risolvendo l'equazione, ho ottenuto x=0 e x=4, ovvero i punti di intersezione del grafico (parabola) con l'asse x.
Poi, ho dimostrato che non è iniettiva perché un'ipotetica retta orizzontale intersecherebbe il grafico in più di un punto e che non è neanche suriettiva perché la proiezione del grafico non copre tutto l'asse delle ordinate.
Sto riscontrando problemi, invece, nel determinare dominio e codominio: quelli della funzione assegnata dovrebbero essere D=Reali e C=[-4; +∞ [, correggetemi se sbaglio, ma non riesco proprio a stabilire quali debbano essere quelli per cui la funzione è biunivoca. Ho ipotizzato sia D sia C=Reali, ma non saprei neanche dire perché.
Scusatemi per eventuali errori e grazie in anticipo.
Avrei bisogno di una mano con questo esercizio: "Dimostrare che la funzione y = x^2-4x definita da R in R non è iniettiva, né suriettiva. In seguito modificare il dominio e il codominio in modo da renderla biiettiva".
Risolvendo l'equazione, ho ottenuto x=0 e x=4, ovvero i punti di intersezione del grafico (parabola) con l'asse x.
Poi, ho dimostrato che non è iniettiva perché un'ipotetica retta orizzontale intersecherebbe il grafico in più di un punto e che non è neanche suriettiva perché la proiezione del grafico non copre tutto l'asse delle ordinate.
Sto riscontrando problemi, invece, nel determinare dominio e codominio: quelli della funzione assegnata dovrebbero essere D=Reali e C=[-4; +∞ [, correggetemi se sbaglio, ma non riesco proprio a stabilire quali debbano essere quelli per cui la funzione è biunivoca. Ho ipotizzato sia D sia C=Reali, ma non saprei neanche dire perché.
Scusatemi per eventuali errori e grazie in anticipo.
Risposte
Fai un disegno...
Ciao @shadyx ! E ciao anche @gugo82, naturalmente.
@gugo82, perdonami se intervengo nel thread.
Allora @shadyx, come saprai, la dimostrazione di biettività (iniettività e suriettività) può essere eseguita sia per via algebrica che per via grafica. Essendo questa funzione molto semplice da graficare, io opterei per la seconda strada, come suggeriva anche gugo. Graficandola ottieni una parabola con vertice in (2,-4) con concavità rivolta verso l'alto e, dunque, la funzione non è sicuramente iniettiva. Per verificare la suriettività, bisogna confrontare codominio con immagine e qui sta il tuo primo errore, piuttosto comune tra molti studenti, cioè confondere codominio con immagine della funzione. Allora, il codominio di una funzione è quello che ti viene dato nella definizione di funzione: nel tuo caso la funzione è definita da R a R e, dunque, il codominio è la tua seconda R, l'insieme che ti viene fornito nel testo. Il dominio, invece, è l'insieme delle x che posso assegnare alla funzione affinché abbia senso. Forse questo fatto di definire due parole tanto simili in modo diverso crea confusione in molti. Ad ogni modo, per chiarire il significato, facciamo un esempio: prendiamo la funzione $f(x)=e^x$ definita da $R->R$: il dominio di questa funzione è l'insieme $R$; il codominio è $R$, cioè l'insieme di arrivo che ti viene assegnato dal testo della funzione; l'insieme immagine è, invece, l'insieme dei valori che la funzione può assumere, cioè $R^+$, che è sempre un sottoinsieme (al limite coincidente) con il codominio. Come vedi, codominio ed immagine non coincidono.
Ora, sperando di aver chiarito questo punto chiave, veniamo al tuo problema: stabilito che la tua funzione non è iniettiva, in base a ciò che ho scritto sopra possiamo anche notare che la tua funzione non è suriettiva, in quanto il codominio è $R$, datoci dal testo, mentre l'immagine è l'insieme $[-4,+infty[ sube R$. Ora, per far si che la funzione diventi biettiva, dobbiamo modificare dominio (per renderla iniettiva) e codominio (per renderla suriettiva), dunque basterà definirla nel seguente modo: $f(x)=x^2-4x$ definita da $[2,+infty[->[-4,+infty[$ il cui grafico è la semiparabola a destra del vertice.
Un appunto: nel restringere il codominio non modifichiamo sensibilmente la funzione iniziale, nel senso che il suo grafico resta lo stesso, ma, nel modificare il dominio e, dunque, renderla iniettiva, modifichiamo la funzione stessa cambiandola con un'altra. Ti faccio anche notare che come dominio avrei potuto prenderne infiniti altri, ad esempio $[a,+infty[$ con $a in [2,+infty[$.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
P.S. Le definizioni che ho dato di codominio ed immagine, in realtà, sono (IMHO purtroppo) una delle tante che si trovano sui vari testi o che vengono date dai vari professori: c'è chi non fa distinzione tra codominio ed immagine, chi non definisce proprio il codominio, etc... Quelle che ti ho dato sono quelle a cui faccio riferimento io in questi casi. Se non sono le definizioni che usa il/la tuo/a prof/ssa o il tuo testo, fai riferimento a quelle, ovviamente.
@gugo82, perdonami se intervengo nel thread.
Allora @shadyx, come saprai, la dimostrazione di biettività (iniettività e suriettività) può essere eseguita sia per via algebrica che per via grafica. Essendo questa funzione molto semplice da graficare, io opterei per la seconda strada, come suggeriva anche gugo. Graficandola ottieni una parabola con vertice in (2,-4) con concavità rivolta verso l'alto e, dunque, la funzione non è sicuramente iniettiva. Per verificare la suriettività, bisogna confrontare codominio con immagine e qui sta il tuo primo errore, piuttosto comune tra molti studenti, cioè confondere codominio con immagine della funzione. Allora, il codominio di una funzione è quello che ti viene dato nella definizione di funzione: nel tuo caso la funzione è definita da R a R e, dunque, il codominio è la tua seconda R, l'insieme che ti viene fornito nel testo. Il dominio, invece, è l'insieme delle x che posso assegnare alla funzione affinché abbia senso. Forse questo fatto di definire due parole tanto simili in modo diverso crea confusione in molti. Ad ogni modo, per chiarire il significato, facciamo un esempio: prendiamo la funzione $f(x)=e^x$ definita da $R->R$: il dominio di questa funzione è l'insieme $R$; il codominio è $R$, cioè l'insieme di arrivo che ti viene assegnato dal testo della funzione; l'insieme immagine è, invece, l'insieme dei valori che la funzione può assumere, cioè $R^+$, che è sempre un sottoinsieme (al limite coincidente) con il codominio. Come vedi, codominio ed immagine non coincidono.
Ora, sperando di aver chiarito questo punto chiave, veniamo al tuo problema: stabilito che la tua funzione non è iniettiva, in base a ciò che ho scritto sopra possiamo anche notare che la tua funzione non è suriettiva, in quanto il codominio è $R$, datoci dal testo, mentre l'immagine è l'insieme $[-4,+infty[ sube R$. Ora, per far si che la funzione diventi biettiva, dobbiamo modificare dominio (per renderla iniettiva) e codominio (per renderla suriettiva), dunque basterà definirla nel seguente modo: $f(x)=x^2-4x$ definita da $[2,+infty[->[-4,+infty[$ il cui grafico è la semiparabola a destra del vertice.
Un appunto: nel restringere il codominio non modifichiamo sensibilmente la funzione iniziale, nel senso che il suo grafico resta lo stesso, ma, nel modificare il dominio e, dunque, renderla iniettiva, modifichiamo la funzione stessa cambiandola con un'altra. Ti faccio anche notare che come dominio avrei potuto prenderne infiniti altri, ad esempio $[a,+infty[$ con $a in [2,+infty[$.
Spero di essere stato chiaro, in caso contrario non esitare a chiedere.
Saluti
P.S. Le definizioni che ho dato di codominio ed immagine, in realtà, sono (IMHO purtroppo) una delle tante che si trovano sui vari testi o che vengono date dai vari professori: c'è chi non fa distinzione tra codominio ed immagine, chi non definisce proprio il codominio, etc... Quelle che ti ho dato sono quelle a cui faccio riferimento io in questi casi. Se non sono le definizioni che usa il/la tuo/a prof/ssa o il tuo testo, fai riferimento a quelle, ovviamente.
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