Esercizio fra 2 funzioni tangenti

[giogiomogio]

Ciao a tutti l'esercizio in question e':

Per quali valori del parametro $a$ la curva della funzione $f(x)=ae^x$ è tangente alla parabola $g(x)=x^2$ ?
La prima cosa lampante che mi viene in mente è quella di risolvere un sistema del tipo:
${ ( f'(x)=g'(x) ),( f(x) = g(x) ):}$
nella sostanza:
${ ( ae^x=2x ),( ae^x = x^2 ):} => { ( a=(2x)/(e^x) ),( (2x)/(e^x)e^x = x^2 ):} => { ( a=4/e^2 ),( x=2):}$


risposta:
per far si che la curva di $f(x)$ tange $g(x)$ si dovra' avere $a=4/e^2$ ed il "bacio" avverrà in $x=2$
secondo voi il ragionamento e la risoluzione del problema è corretta?
grazie

[Zero87]

Ragionamento ottimo, a mio avviso.

Poi, a occhio, è coerente l'esistenza di un unico punto di tangenza dal momento che l'esponenziale è una funzione monotòna (tra un po' mi verrà da scrivere "mononota" invece di monotòna... mannaggia al festivàl ) oltre al fatto che ho nella mia mente il grafico dell'esponenziale e di come si comporta - circa - al variare di $a$.

[giogiomogio]

grazie Zero,
ho controllato sul grafico e tange
si "baciano" perfettamente.
eh si mannaggia al festival ahah
ma preferisco la motoGP
grazie ancora

[Zero87]

"giogiomogio":eh si mannaggia al festival ahah [...] grazie ancora

Prego, non c'è di che. Neanche a me piace il festivàl, ma la canzone mononota è una di quelle cose che una volta che mette le radici nella testa non ce se ne sbarazza più.
L'unico metodo per liberarsene è aspettare un altro tormentone orecchiabile.