Esercizio di trigonometria che non riesco a risolvere. Posso avere qualche suggerimento?

[wanderlust1]

$sen(x/2)=-cos(x-pi/3)$ $hArr$ $sen(x/2)+cos(x-pi/3)=0$

Per la formula di addizione del coseno: $cos(x-pi/3)=1/2cosx+(sqrt3)/2senx$

$sen(x/2)+1/2cosx+(sqrt3)/2senx=0$ $hArr$ $2sen(x/2)+cosx+sqrt3senx=0$

Utilizzando la formula di duplicazione per $cosx$ e $senx$, posso riscrivere l'equazione come:

$2sen(x/2)+1-2sen^2(x/2)+2sqrt3sen(x/2)cos(x/2)=0$

Il problema è che ora non so come andare avanti: l'equazione non è omogenea di 2° grado (o riconducibile a omogenea sostituendo a 1 la formula goniometrica fondamentale), non è riconducibile ad un equazione di 2° grado in un'incognita (in quanto non riesco a liberarmi di $cos(x/2)$ perché riscrivendolo come $sen(pi/2+x/2)$ non è di aiuto), non è biquadratica ed evidentemente nemmeno lineare. Ho provato anche a riscrivere $cos(x-pi/3)$ con gli angoli associati o $sen(x/2)$ come $sen(x-x/2)$ e applicare la formula di addizione per il seno, ma non sono lo stesso andato lontano.

Qualcuno potrebbe gentilmente illuminarmi? Spero che la risoluzione di questo esercizio non sia banale e che non mi sia perso io in un bicchier d'acqua

[orsoulx]

Benvenuto nel forum e complimenti: per l'educazione, la scrittura delle formule ed i tentativi di risoluzione.
L'equazione che ti crea problemi è immediatamente riconducibile all'uguaglianza di due coseni: basta passare all'angolo complementare per il primo membro e al supplementare per il secondo.
Ciao

[wanderlust1]

Grazie per la risposta.

Partendo dal testo dell'esercizio: $sen(x/2)=−cos(x−π/3)$

Considerando le formule per gli angoli associati:
1. $senα=cos(pi/2-α)$ posso riscrivere $sen(x/2)=cos(pi/2-x/2)$
2. $-cosα=cos(pi-α)$ posso riscrivere $-cos(x-pi/3)=cos(pi-(x-pi/3))=cos(4/3pi-x)$

Da cui: $cos(pi/2-x/2)=cos(4/3pi-x)$

Ora mi verrebbe da dire che: $cosβ=cosγ$ ⇔ $β=±γ+2kpi$ con $k∈Z$.

Considerando $+γ+2kpi$:
$pi/2-x/2=4/3pi-x+2kpi$ ⇔ $x-x/2=4/3pi-pi/2+2kpi$ ⇔ $x/2=5/6pi+2kpi$ ⇔ $x=5/3pi+4kpi$

Considerando $-γ+2kpi$:
$pi/2-x/2=x-4/3pi+2kpi$ ⇔ $pi/2+4/3pi+2kpi=x+x/2$ ⇔ $11/6pi+2kpi=3/2x$ ⇔ $11/3pi+4kpi=3x$ ⇔ $x=11/9pi+4/3kpi$

Mi confermate che sono arrivato al risultato corretto? In questo momento sono un po' fuso

[orsoulx]

Perfetto! Quattro soluzioni 'diverse' che si ripetono ogni due giri.
Ciao