Esercizio di trigonometria

[rofellone]

Salve, sul mio libro di matematica ho trovato il titolo di questo esercizio:Risolvere un triangolo rettangolo essendo dati:
a=10
b+c=5(1+RAD3)
queste due uguaglianze sono scritte come sistema e non riesco a capire cosa devo fare. Ringrazio tutti quelli disposti ad aiutarmi.

[@melia]

Risolvere un triangolo significa trovare tutti i suoi lati e tutti i suoi angoli. Nel caso particolare per risolvere il sistema ti conviene aggiungere il teorema di Pitagora (sfrutta il fatto che il triangolo è rettangolo) $a^2=b^2+c^2$. Questo ti permette di trovare due soluzioni simmetriche
1) $a=10$, $b=5$ e $c=5sqrt3$ e
2) $a=10$, $b=5sqrt3$ e $c=5$

a questo punto vedi che il triangolo è la metà di un triangolo equilatero, oppure usi l'inverso del primo teorema sui triangoli rettangoli, in ogni casi trovi che gli angoli misurano 30°, 60° e 90°

[rofellone]

Però il professore mi ha detto che in trigonometria non posso usare la geometria ed inoltre non posso usare il teorema di pitagora!

[Enrico84]

avrei seguito lo stesso ragionamento di @melia... ma puoi anche procedere così: una volta trovate le misure dei lati a,b,c, puoi usare il seno o il coseno per calcolare gli angoli; il triangolo è rettangolo per cui già sappiamo la misura di un angolo che sarà uguale a 90°, se chiamiamo con x e y gli altri due angoli possiamo scrivere, conoscendo i lati, che senx=5/10=1/2 ,da cui, tenendo conto della limitazione su x e cioè che 0°

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[@melia]

"rofellone":Però il professore mi ha detto che in trigonometria non posso usare la geometria ed inoltre non posso usare il teorema di pitagora!

Va bene, riproviamo. L'esercizio allora si può fare solo se conosci le equazioni goniometriche.
Per il primo teorema sui triangoli rettangoli si ha $b=a *sin beta=10 * sin beta$ e $c=a * cos beta=10 *cos beta $, la seconda equazione diventa quindi $10* sin beta+10* cos beta=5*(1+sqrt3)$, risolvendo l'equazione ottieni come uniche soluzioni accettabili $ beta_1=30°$ e $beta_2=60°$. La prosecuzione con il primo teorema sui triangoli rettangoli è banale, l'equazione goniometrica non altrettanto.