Esercizio di probabilità (319083)

[Simorchio]

Aldo e Bruno si sfidano al tiro con l'arco e decidono di continuare a tirare le frecce finché solo uno dei due centra il bersaglio. Supponiamo che i risultati di tutti i tiri siano indipendenti e che, ad ogni tiro, Aldo centra il bersaglio con probabilità 9/10 e Bruno con probabilità 4/5.
a) Ricavare la probabilità che in un singolo tiro Aldo e Bruno conseguano lo stesso risultato.
b) Sapendo che al primo tiro Aldo e Bruno conseguono un risultato distinto calcolare la probabilità che Aldo abbia centrato il bersaglio.
c) Calcolare la probabilità che la sfida venga vinta da Aldo.
d) Individuare la distribuzione del numero di lanci da effettuare per avere un vincitore e calcolare il valore atteso di tale distribuzione.
Aldo e Bruno cambiano la sfida e decidono di fare 50 tiri ciascuno decretando vincitore il giocatore col maggior numero di centri.
e) Introdurre una variabile aleatoria X che conta il numero di centri di Aldo meno il numero di centri di Bruno nei 50 turni di tiro. Definire in modo opportuno delle variabili aleatorie indipendenti (Yn)n=1,...,50 in modo da poter scrivere X come somma di tali variabili.
f) Calcolare valore atteso e varianza di X.
g) Usando l'approssimazione normale calcolare approssimativamente la probabilità che Aldo vinca questa competizione.

Non riesco a capire come risolvere