Esercizio di dimostrazione di geometria
Sia ABC un triangolo isoscele sulla base AB. Da un punto P della base traccia la perpendicolare alla base stessa e siano D ed E i punti in cui essa incontra rispettivamente le rette dei lati AC e BC (vedi figura).
Dimostra che il triangolo CDE è isoscele.
Volevo chiedere a voi se riuscite a trovare una dimostrazione diversa da questa sotto riportata da me, possibilmente evitando costruzioni. Mi sto sforzando ma non riesco, prima avevo immaginato che il triangolo ABC fosse equilatero, invece non lo è...
Ecco:
DP perpendicolare ad AB, di conseguenza sono retti gli angoli APD e BPE, e quindi sono rettangoli i triangoli APD e BEP.
Nel triangolo rettangolo APD= angoli acuti DAP e ADP complementari. Si ha poi PDA congruente a CDE, perchè angoli opposti al vertice, e quindi anche l'angolo CDE è complementare di PAD = BAC.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo BPE, i suoi angoli acuti BEP = DEC e EBP=ABC sono complementari.
Inoltre gli angoli BAC e ABC sono congruenti perchè angoli alla base di un triangolo isoscele.
....
Dimostra che il triangolo CDE è isoscele.
Volevo chiedere a voi se riuscite a trovare una dimostrazione diversa da questa sotto riportata da me, possibilmente evitando costruzioni. Mi sto sforzando ma non riesco, prima avevo immaginato che il triangolo ABC fosse equilatero, invece non lo è...
Ecco:
DP perpendicolare ad AB, di conseguenza sono retti gli angoli APD e BPE, e quindi sono rettangoli i triangoli APD e BEP.
Nel triangolo rettangolo APD= angoli acuti DAP e ADP complementari. Si ha poi PDA congruente a CDE, perchè angoli opposti al vertice, e quindi anche l'angolo CDE è complementare di PAD = BAC.
Consideriamo ora il triangolo rettangolo BPE, i suoi angoli acuti BEP = DEC e EBP=ABC sono complementari.
Inoltre gli angoli BAC e ABC sono congruenti perchè angoli alla base di un triangolo isoscele.
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Risposte
Se ti piace puoi (forse) semplificare un po' come segue.
Per semplicità di scrittura, poni ACB=2a e quindi ne viene che: DAP= BAC=ABC=90°-a.
Pertanto risulta: CDE= ADP=90°-DAP=90-(90-a)=a
D'altra parte l'angolo ACB è esterno al triangolo CED e, dunque per un noto teorema, si ha:
ACB=CDE+CED , ovvero 2a=a+CED e quindi non può che essere CED=a.
In conclusione, essendo CED=CDE=a, il triangolo CED risulta isoscele sulla base DE.
Per semplicità di scrittura, poni ACB=2a e quindi ne viene che: DAP= BAC=ABC=90°-a.
Pertanto risulta: CDE= ADP=90°-DAP=90-(90-a)=a
D'altra parte l'angolo ACB è esterno al triangolo CED e, dunque per un noto teorema, si ha:
ACB=CDE+CED , ovvero 2a=a+CED e quindi non può che essere CED=a.
In conclusione, essendo CED=CDE=a, il triangolo CED risulta isoscele sulla base DE.
Grazie per la risposta, non ho capito però cos'è ACB=2a
Ho indicato con 2a l'ampiezza dell'angolo ACB, ovvero dell'angolo al vertice del triangolo dato.
Ho un altro quesito.
Dimostra che, in un triangolo isoscele, l'altezza relativa a uno dei lati forma con la base un angolo congruente alla metà dell'angolo al vertice.
Mi servirebbe qualche indizio...
Dimostra che, in un triangolo isoscele, l'altezza relativa a uno dei lati forma con la base un angolo congruente alla metà dell'angolo al vertice.
Mi servirebbe qualche indizio...
Ci sono già arrivato, grazie lo stesso
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