Esercizio di analisi!

[Gis86]

Ciao a tutti! E' un po che sto provando a fare questo esercizio ma niente.. mi potreste dare una mano?
1)Verificare che tutte le curve di equazione y=x^2/2 + ln|ax+1| passano per uno stesso punto P.
2)Determinare il valore di a per cui tali curve non presentano nè massimi nè minimi, ma hanno due flessi, uno in P e l'altro in un punto di ascissa positiva.
3)Tracciare il grafico della curva per a=-1.
Grazie mille a tutti in anticipo!!

[g.schgor1]

Vedo che nessuno ti aiuta e cerco quindi di darti una mano
avvertendoti che non sono molto competente in questi problemi
(ma utilizzo il computer).

Dunque, quello che si vede immediatamente e’ che se a=0,
tutta la parte di ln risulta =0 (quindi rimane la sola parabola).
Per vedere l’influenza di a <>0, ho fatto la derivata prima (y1)
e seconda (y2) della funzione y, e le ho messe in grafico,
assumendo a = -0.2.

(per non mandare in crisi il calcolo, ho dovuto eliminare i punti
di discontinuita’, quindi non badare ad es. a k).
Quello che risulta nettamente e’ che la parte logaritmica ha una
singolarita’ per x = -1/a (ovviamente: ln(0) !) che deforma la
parabola.
Questo fa si’ che la funzione y (in rosso) abbia 2 flessi (nel caso
specifico a x=4 e x=6, come si vede dal grafico di y2, in nero).
Variando ‘a’, la singolarita’ si sposta corrispondentemente (qui e’
molto comodo l’uso del calcolatore che permette di visualizzare
l’influenza del parametro sulla forma della funzione).
Chiudo con il caso richiesto di a = -1. E’ stato considerato anche
un tratto di x negativi tra 0 e -2 per mostrarne l’andamento parabolico.

Non ho capito la questione del punto comune P (a me sembra che
non c'entri coi flessi, ma coincida con l’origine degli assi),
mentre per i casi di logaritmo >1, non c’e’ problema, in quanto
la funzione ln tende solo a deformarel’andammento parabolico.
(E’ utile scindere le 2 funzioni in grafici separati, per rendersi
conto del loro apporto)
Spero di essere stato utile.