Esercizio di analisi!
Ciao a tutti! E' un po che sto provando a fare questo esercizio ma niente.. mi potreste dare una mano?
1)Verificare che tutte le curve di equazione y=x^2/2 + ln|ax+1| passano per uno stesso punto P.
2)Determinare il valore di a per cui tali curve non presentano nè massimi nè minimi, ma hanno due flessi, uno in P e l'altro in un punto di ascissa positiva.
3)Tracciare il grafico della curva per a=-1.
Grazie mille a tutti in anticipo!!
1)Verificare che tutte le curve di equazione y=x^2/2 + ln|ax+1| passano per uno stesso punto P.
2)Determinare il valore di a per cui tali curve non presentano nè massimi nè minimi, ma hanno due flessi, uno in P e l'altro in un punto di ascissa positiva.
3)Tracciare il grafico della curva per a=-1.
Grazie mille a tutti in anticipo!!
Risposte
beh, per annullare il coefficente a, basta sostituire a x=0 nell' equazione, ottenendo il punto di coordinate (0;0)...
Allora per il punto 1 sostituisco a x=0 e di conseguenza trovo il punto P(0,0)
per le altre 2 cose?
Grazie
per le altre 2 cose?
Grazie
Lo scopo non è quello di annullare il coefficiente a, ma è quello
di trovare il punto P per cui passano tutte le curve aventi quell'equazione.
Si devono dare due valori ad a, ad esempio a = 0 ed a = 1, quindi porre
a sistema le equazioni ottenute. Per a = 0 si ottiene: y = x^2/2 mentre
per a = 1 si ha: y = x^2/2 + ln|x + 1|
Mettendo a sistema queste due equazioni si ottiene l'equazione logaritmica:
ln|x + 1| = 0 che ha per soluzioni x = 0 e x = -2
Sostituendo x = 0 nell'equazione y = x^2/2 + ln|ax + 1| si ottiene y = 0
quindi il punto per cui passano tutte le curve che hanno questa equazione
è l'origine O(0,0). Sostituendo x = -2 nell'equazione y = x^2/2 + ln|ax + 1|
si ottiene y in funzione di a e quindi il punto ha ordinata che varia al
variare di a. Di conseguenza l'unico punto fisso per cui passano tutte
le curve è O(0,0).
di trovare il punto P per cui passano tutte le curve aventi quell'equazione.
Si devono dare due valori ad a, ad esempio a = 0 ed a = 1, quindi porre
a sistema le equazioni ottenute. Per a = 0 si ottiene: y = x^2/2 mentre
per a = 1 si ha: y = x^2/2 + ln|x + 1|
Mettendo a sistema queste due equazioni si ottiene l'equazione logaritmica:
ln|x + 1| = 0 che ha per soluzioni x = 0 e x = -2
Sostituendo x = 0 nell'equazione y = x^2/2 + ln|ax + 1| si ottiene y = 0
quindi il punto per cui passano tutte le curve che hanno questa equazione
è l'origine O(0,0). Sostituendo x = -2 nell'equazione y = x^2/2 + ln|ax + 1|
si ottiene y in funzione di a e quindi il punto ha ordinata che varia al
variare di a. Di conseguenza l'unico punto fisso per cui passano tutte
le curve è O(0,0).
sì, mi sono espresso male...
quello che intendevo dire è che, in questo caso, per trovare un punto comune a tutte le curve, bisogna fare in modo che il parametro a risulti ininfluente (spero di non dire troppe boiate [:D])...inq questo caso basta annullare il monomio (ax), per ottenere le coordinate del punto comune a tutte le curve...
ciao
quello che intendevo dire è che, in questo caso, per trovare un punto comune a tutte le curve, bisogna fare in modo che il parametro a risulti ininfluente (spero di non dire troppe boiate [:D])...inq questo caso basta annullare il monomio (ax), per ottenere le coordinate del punto comune a tutte le curve...
ciao
ah grazie ragazzi, intanto vado a fare il punto 1.
se poi mi dite anche gli altri 2 punti, siete i migliori
se poi mi dite anche gli altri 2 punti, siete i migliori
Beh, il terzo punto è un semplice studio di funzione:
non dovrebbe presentare grosse difficoltà (l'unica parte
che richiede un po' di "impegno" è la determinazione degli
zeri e della positività...)
Io ti dico i risultati del secondo punto per
sapere se sono corretti, qualcun altro spieghi come ci si arriva.
Non ci sono massimi né minimi per a < - 1/2 V a > 1/2 ...
Flesso in P per a = -1 , flesso in un punto di ascissa positiva per a < 0 V a > 1
Quindi poiché a = -1 è minore di zero, possiamo concludere che per a = -1
c'è sia un flesso in P che un flesso in un punto di ascissa positiva.
non dovrebbe presentare grosse difficoltà (l'unica parte
che richiede un po' di "impegno" è la determinazione degli
zeri e della positività...)
Io ti dico i risultati del secondo punto per
sapere se sono corretti, qualcun altro spieghi come ci si arriva.
Non ci sono massimi né minimi per a < - 1/2 V a > 1/2 ...
Flesso in P per a = -1 , flesso in un punto di ascissa positiva per a < 0 V a > 1
Quindi poiché a = -1 è minore di zero, possiamo concludere che per a = -1
c'è sia un flesso in P che un flesso in un punto di ascissa positiva.
si il risultato è giusto a=-1 grazie fireball
Se qualcuno poi ha voglia di scrivermi il procedimento mi fa un favorone!! grazie!
Se qualcuno poi ha voglia di scrivermi il procedimento mi fa un favorone!! grazie!
Sono riuscito a capire lo studio di funzione un po' però ho ancora problemi con il punto 2..
Nessuno che sappia dirmi il procedimento esatto?
Nessuno che sappia dirmi il procedimento esatto?
Ecco la spiegazione di come si arriva a determinare per quali valori di a le curve non presentano nè max nè minimi:
Calcolo la derivata prima : y' = x+[a/(ax+1)]= (ax^2+x+a)/(ax+1);
perchè non ci siano nè max nè min bisogna che :
*la derivata prima non si annulli mai : quindi il discriminante del trinomio a numeratore della derivata deve essere negativo , cioè :
1-4a^2 < 0 da cui : a < -1/2 v a > 1/2.
* oppure se si annulla per un valore x0 , il trinomio a numeratore deve essere un quadrato perfetto ( in modo che non si abbia cambiamento del segno della derivata prima per valori di x maggiori o minori di x0 ): quindi a = +-1/2 .
In conclusione : a < = -1/2 v a > = 1/2.
Camillo
Calcolo la derivata prima : y' = x+[a/(ax+1)]= (ax^2+x+a)/(ax+1);
perchè non ci siano nè max nè min bisogna che :
*la derivata prima non si annulli mai : quindi il discriminante del trinomio a numeratore della derivata deve essere negativo , cioè :
1-4a^2 < 0 da cui : a < -1/2 v a > 1/2.
* oppure se si annulla per un valore x0 , il trinomio a numeratore deve essere un quadrato perfetto ( in modo che non si abbia cambiamento del segno della derivata prima per valori di x maggiori o minori di x0 ): quindi a = +-1/2 .
In conclusione : a < = -1/2 v a > = 1/2.
Camillo
grande camillo! e però io dovevo trovare il valore di a che permettesse alla mia funz di avere un flesso in P(0,0) e in un punto di ascissa positiva.. qui cosa devo fare?
Camillo ti ha spiegato il punto forse meno immediato da svolgere:
trovare i valori di a per cui non si hanno massimi e minimi.
Per quanto riguarda i flessi, devi calcolare anzitutto la derivata
seconda, poi porla uguale a zero e infine risolvere l'equazione.
L'equazione ha due soluzioni espresse in funzione di a.
Poni una delle due soluzioni in funzione di a uguale a zero
e l'altra la poni > 0. Otterrai così il valore di a per cui
c'è un flesso in P(0,0) e i valori di a per cui c'è un flesso
in un punto di ascissa positiva.
trovare i valori di a per cui non si hanno massimi e minimi.
Per quanto riguarda i flessi, devi calcolare anzitutto la derivata
seconda, poi porla uguale a zero e infine risolvere l'equazione.
L'equazione ha due soluzioni espresse in funzione di a.
Poni una delle due soluzioni in funzione di a uguale a zero
e l'altra la poni > 0. Otterrai così il valore di a per cui
c'è un flesso in P(0,0) e i valori di a per cui c'è un flesso
in un punto di ascissa positiva.
La deivata seconda è:
y'' = (a^2x^2 + 2ax + 1 - a^2)/(ax + 1)^2
Essa si annulla per:
x1 = (a - 1)/a e x2 = -(1 + a)/a.
Se deve avere un flesso nell'origine deve essere:
a) Se x1 = 0 ===> a = 1, l'altro flesso si ha in x2 = -2
b) Se x2 = 0 ===> a = -1, l'altro flesso si ha in x1 = 2
Quest'ultimo caso è quello cercato essendo x1 > 0.
y'' = (a^2x^2 + 2ax + 1 - a^2)/(ax + 1)^2
Essa si annulla per:
x1 = (a - 1)/a e x2 = -(1 + a)/a.
Se deve avere un flesso nell'origine deve essere:
a) Se x1 = 0 ===> a = 1, l'altro flesso si ha in x2 = -2
b) Se x2 = 0 ===> a = -1, l'altro flesso si ha in x1 = 2
Quest'ultimo caso è quello cercato essendo x1 > 0.
Grazie mille a tutti!!!!
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