Esercizio

[fra17]

ciao! non riesco a risolvere questo esercizio. mi aiutate?
senx alla seconda-senx= cosx alla seconda-cosx
grazie

[ciampax]

Spero che sia questa l'equazione

[math]\sin^2 x-\sin x=\cos^2 x-\cos x[/math]

perché quello che hai scritto tu verrebbe

[math]\sin(x^2)-\sin x=\cos(x^2)-\cos x[/math]

e questo manco Einstein lo risolve!


Cmq, per risolvere la prima equazione procedi così:

[math]\sin^2 x-\sin x=\cos^2 x-\cos x[/math]

[math]\sin^2 x-\cos^2 x+\cos x-\sin x=0[/math]

[math](\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x)+(\cos x-\sin x)=0[/math]

[math](\sin x-\cos x)(\sin x+\cos x-1)=0[/math]

L'ultima equazione si divide nelle due equazioni seguenti:

[math]\sin x-\cos x=0\Rightarrow \tan x=1[/math]

(ho diviso tutto per il coseno)

le cui soluzioni sono

[math]x=\frac{\pi}{4}+k\pi[/math]

[math]\sin x+\cos x-1=0[/math]

se sostituisco

[math]\sin x=2t/(1+t^2), \cos x=(1-t^2)/(1+t^2), t=\tan(x/2)[/math]

ottengo l'equazione

[math]t^2-t=0\Rightarrow t=0,\quad t=1[/math]

da cui

[math]\tan(x/2)=0\Rightarrow x/2=k\pi\Rightarrow x=2k\pi[/math]

[math]\tan(x/2)=1\Rightarrow x/2=\pi/4+k\pi\Rightarrow x=\pi/2+2k\pi[/math]

e quindi le soluzioni dell'equazione sono

[math]x=\frac{\pi}{4}+k\pi,\quad x=2k\pi,\quad x=\frac{\pi}{2}+2k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}[/math]

[fra17]

si era così
grazie