Esercizietto

[fu^2]

dimostrre che la funzione $y=lnx+2x$ è invertibile.
detta g(y) la funzione inversa, calcolare g'(2).

allora io ho ragionato così: la funzione per essere invertibile nel suo campo d'esisstenza deve essere continua e soprattutto biettiva.

quindi posto CE: x>0,
$y'=1/x+2$ ed è sempre maggiore d zero, per ogni x appartenente alle CE, quindi non ha massimi ne minimi
$y''=-1/x$ è sempre minore di zero e quindi non ha punti di flesso

quindi essendo continua e derivabile, iniettiva e suriettiva è quindi invertibile in quanto tutto il codominio è coinvolto, in quanto le y vanno da meno a più infinito, cosa dimostrata dallo studio del segno della derivata prima. e ad ogni x corrisponde solo una y, cosa dimostrata dallo studio del segno della derivata prima.

basta questo per verificare, giusto?

per il secondo punto basta calcolre f'(2)=5/2, sapendo che g'=1/f'=1/5/2=2/5

giusto?

[_Tipper]

"fu^2":$y'=1/x+2$

Dato che è monotona crescente nel dominio ($x>0$), è iniettiva, che non è limitata né superiormente né inferiormente, l'immagine coincide con $\mathbb{R}$, allora è anche suriettiva, quindi invertibile, direi che basta questo.

[fu^2]

ok grazie

[_Tipper]

"Tipper":[quote="fu^2"]$y'=1/x+2$

Dato che è monotona crescente nel dominio ($x>0$), è iniettiva, che non è limitata né superiormente né inferiormente, l'immagine coincide con $\mathbb{R}$, allora è anche suriettiva, quindi invertibile, direi che basta questo.[/quote]
Mi son scordato di dire che oltre a essere monotona crescente nel suo dominio, è anche continua (se non fosse continua non sarebbe sicura l'invertibilità).

[fu^2]

si si, infatti avevo specificato che era derivabile in tutto il suo dominio

[_Tipper]

Non l'ho detto per correggere quanto avevi detto tu, l'ho detto solo per correggere quello che avevo detto io, che era impreciso.