Esercizi sul calcolo della derivabilità e continuita

[ramarro1]

Non riesco a capire come si fanno gli esercizi sulla continuita e sulla derivabilita, in questo topic metterò un po di esercizi che nn capisco, piu che altro vorrei che mi fosse spiegato il ragionamento che si fa e la sua applicazione perchè anche in internet alla fine non so trova molto, cè della teoria quella si, ma non riesco a passare dalla teoria alla pratica
Sia la funzione definita da
SISTEMA
${(x^2+3x+2),(mx+q):}$ la prima se $x<=2$, la seconda se $x>2$
Determinare $m,n$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=2$

Sia la funzione definita da
${(sqrtx),(x^2+ax+b):}$
la prima se $x<=1$
la secondase $x>1$
Determinare $a,b$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=1$

Si consideri la funzione $f(x)$
${(x^2cos(1/x)),(0):}$la prima se $x!=0$ la seconda se $x=0$
usando la definizione di derivata calcolare $f'(x)$

poi ho un altro esercizio di cui ho la procedura ma non ho la domanda(si lo so è assurdo ma è cosi) vorrei che qualcuno di voi potesse intuire quale fosse la domanda per favore.
Grazie
Cordiali saluti

[ramarro1]

Nn lo so se é zero perché onestamente sono in giro e nn ho carta e penna però se uso la formula e dovessi sostituire $xo +h$a $x$ che nn ce allora forse é impossibile

[ramarro1]

allora la foromula è $(Deltaf)/(Deltax)=(f(xo+h)-f(xo))/h$
sostituisco $xo + h$ a $x$
$(Deltaf)/(Deltax)=((xo + h)^2cos(1/(xo + h))-(xo)^2xcos(1/(xo)))/h$ poi al posto di $xo$ scrivo $0$
il problema è che ho
$(h^2cos(1/h)-0(cos(1/0)))/h$
dove $cos(1/0)$ sarebbe $cos(-oo)$ perchè sarebbe uno $0$ negativo ma $cos(-oo)$ da quel che ho sentito a lezione io non è un valore vero, in teoria questo esercizio non è risolubile anche perchè il limite destro dato che non posso sostituire $xo + h$ a $x$ perchè non esiste nessuna $x$ non è risolubile....però non sono sicuro sei te l'esperto:)

[axpgn]

"ramarro":...però non sono sicuro sei te l'esperto:)

Mica tanto ...

Io la svolgerei in modo appena appena diverso ... non calcolerei $f(x_0)$ perché so già quanto vale cioè zero e quindi evito il problema ...
Perciò, secondo me si arriva a $lim_(h->0) (h^2cos(1/h)-0)/h=lim_(h->0) h*cos(1/h)$ ... ora, dato che il coseno è una funzione limitata, moltiplicarlo per qualcosa che tende a zero dovrebbe dare zero ... e dovrebbe dare zero da entrambe le parti (da destra e da sinistra) ... ergo sarebbe derivabile ... ma non ne sono sicuro ...

Cordialmente, Alex

[minomic]

"axpgn":dato che il coseno è una funzione limitata, moltiplicarlo per qualcosa che tende a zero dovrebbe dare zero

Sì, sono d'accordo. L'argomento del coseno va all'infinito ma sicuramente sappiamo che il valore della funzione coseno è compreso tra $-1$ e $1$. Quindi moltiplicando per $h -> 0$ si ha che il limite del prodotto vale $0$.