Esercizi sul calcolo della derivabilità e continuita
Non riesco a capire come si fanno gli esercizi sulla continuita e sulla derivabilita, in questo topic metterò un po di esercizi che nn capisco, piu che altro vorrei che mi fosse spiegato il ragionamento che si fa e la sua applicazione perchè anche in internet alla fine non so trova molto, cè della teoria quella si, ma non riesco a passare dalla teoria alla pratica
Sia la funzione definita da
SISTEMA
${(x^2+3x+2),(mx+q):}$ la prima se $x<=2$, la seconda se $x>2$
Determinare $m,n$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=2$
Sia la funzione definita da
${(sqrtx),(x^2+ax+b):}$
la prima se $x<=1$
la secondase $x>1$
Determinare $a,b$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=1$
Si consideri la funzione $f(x)$
${(x^2cos(1/x)),(0):}$la prima se $x!=0$ la seconda se $x=0$
usando la definizione di derivata calcolare $f'(x)$
poi ho un altro esercizio di cui ho la procedura ma non ho la domanda(si lo so è assurdo ma è cosi) vorrei che qualcuno di voi potesse intuire quale fosse la domanda per favore.
Grazie
Cordiali saluti
Sia la funzione definita da
SISTEMA
${(x^2+3x+2),(mx+q):}$ la prima se $x<=2$, la seconda se $x>2$
Determinare $m,n$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=2$
Sia la funzione definita da
${(sqrtx),(x^2+ax+b):}$
la prima se $x<=1$
la secondase $x>1$
Determinare $a,b$ appartenenti a $R$ in modo che $f(x)$ sia derivabile in $x=1$
Si consideri la funzione $f(x)$
${(x^2cos(1/x)),(0):}$la prima se $x!=0$ la seconda se $x=0$
usando la definizione di derivata calcolare $f'(x)$
poi ho un altro esercizio di cui ho la procedura ma non ho la domanda(si lo so è assurdo ma è cosi) vorrei che qualcuno di voi potesse intuire quale fosse la domanda per favore.
Grazie
Cordiali saluti
Risposte
"ramarro":
... poi ho un altro esercizio di cui ho la procedura ma non ho la domanda(si lo so è assurdo ma è cosi) vorrei che qualcuno di voi potesse intuire quale fosse la domanda per favore. ...
Intuire la domanda può darsi, ma intuire anche l'esercizio ...
Sarebbe questa la prima ?
Premesso che non vedo la $n$, quello che devi fare è l'applicazione della definizione di continuità e/o derivabilità ai punti richiesti (o a tutta la funzione eventualmente).
Quali sono le definizioni ? Prova ad applicarle al punto $x=2$ nel caso in questione.
Cordialmente, Alex
"ramarro":
SISTEMA
${(x^2+3x+2 if x<=2),(mx+q if x>2):}$
Premesso che non vedo la $n$, quello che devi fare è l'applicazione della definizione di continuità e/o derivabilità ai punti richiesti (o a tutta la funzione eventualmente).
Quali sono le definizioni ? Prova ad applicarle al punto $x=2$ nel caso in questione.
Cordialmente, Alex
da quel che ne so io la definizione di derivata è la stessa del limite del rapporto incrementale:$(gradf)/(gradx)=(f(xo +h)-f(xo))/h$
i triangoli alla rovescia vogliono dire 'delta' ma purtroppo sono alla rovescia, non so scriverli dritti....cmq nell'esercizio 1 allora per me dovrei fare
$((2^2+3(2)+2+h)-(2^2+3(2)+2))/h$...per quanto concerne la 'n' dell'esercizio non capisco in effetti a che cosa si riferisca, perchè non cè scritto $m,x$ cè proprio scritto $m,n$ bo strano, non cè la 'n'
i triangoli alla rovescia vogliono dire 'delta' ma purtroppo sono alla rovescia, non so scriverli dritti....cmq nell'esercizio 1 allora per me dovrei fare
$((2^2+3(2)+2+h)-(2^2+3(2)+2))/h$...per quanto concerne la 'n' dell'esercizio non capisco in effetti a che cosa si riferisca, perchè non cè scritto $m,x$ cè proprio scritto $m,n$ bo strano, non cè la 'n'
Non ti ho chiesto la definizione di "derivata" ma quella di "derivabilità di una funzione in un punto" che è qualcosa di diverso ...
Per il Delta basta scrivere "Delta" $Delta$ ...
Per il Delta basta scrivere "Delta" $Delta$ ...
quindi vuol dire che il limite del rapporto incrementale per $x$ tendente a $2^-$ dev'essre uguale al limite del rapporto incrementale per $x$ tendente a $2^+$?cioè vuol dire che prima devo usare la formula $(Deltaf)/(Deltax)=((f(xo + h)-(f(xo)))/h$ sostitundo all'inizio $2^-$ poi rifarla sostituendo però la seconda volta $2^-$ non so se è giusto quel che ti sto dicendo ma pure se lo fosse poi non saprei come devo preocedere
Più o meno è così ... ma cosa significa che non sai come procedere ? Fai quello che hai scritto ...
viene $(4^(-) +h)/h=(4^+ +h)/h$...si ok ma poi?
No, non viene così ...
Calcoliamo il limite da sinistra cioè $x->2^-$ (e quindi $h->0^-$):
$lim_(h->0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=(((x_0+h)^2+3(x_0+h)+2)-((x_0)^2+3(x_0)+2))/h=(((2+h)^2+3(2+h)+2)-((2)^2+3(2)+2))/h=(2^2+h^2+4h+6+3h+2-2^2-6-2)/h=(h^2+4h+3h)/h=(h(h+7))/h=h+7=0+7=7$
Adesso da destra cioè $x->2^+$ (e quindi $h->0^+$):
$lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=((m(x_0+h)+q)-(mx_0+q))/h=(mx_0+mh+q-mx_0-q)/h=(mh)/h=m$
Quindi il limite da sinistra è $7$ mentre quello da destra è $m$; la funzione sarà derivabile in $x=2$ quando i due limiti saranno uguali perciò quando $m=7$.
Ok?
Cordialmente, Alex
Calcoliamo il limite da sinistra cioè $x->2^-$ (e quindi $h->0^-$):
$lim_(h->0^-) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=(((x_0+h)^2+3(x_0+h)+2)-((x_0)^2+3(x_0)+2))/h=(((2+h)^2+3(2+h)+2)-((2)^2+3(2)+2))/h=(2^2+h^2+4h+6+3h+2-2^2-6-2)/h=(h^2+4h+3h)/h=(h(h+7))/h=h+7=0+7=7$
Adesso da destra cioè $x->2^+$ (e quindi $h->0^+$):
$lim_(h->0^+) (f(x_0+h)-f(x_0))/h=((m(x_0+h)+q)-(mx_0+q))/h=(mx_0+mh+q-mx_0-q)/h=(mh)/h=m$
Quindi il limite da sinistra è $7$ mentre quello da destra è $m$; la funzione sarà derivabile in $x=2$ quando i due limiti saranno uguali perciò quando $m=7$.
Ok?
Cordialmente, Alex
Scusa ma forse allora sbaglio a usare la formula, cioè al posto di ogni $x$ della funzione tu inserisci $(xo + h)$ e poi al posto di $xo$ metti $2$...io credevo che la formula si usasse cosi:
$(Deltaf)/(Deltax)=(f(xo + h)-f(xo))/h$
$(Deltaf)/(Deltax)=((2^2+3(2)+2+h)-(2^2+3(2)+2))/h$
invece a quanto pare deevo inserire al posto di ogni $x$ quel $(xo + h)$ e al posto di $xo$ il punto in cui l'esercizio mi chiede di calcolarne la derivabilita, no?
$(Deltaf)/(Deltax)=(f(xo + h)-f(xo))/h$
$(Deltaf)/(Deltax)=((2^2+3(2)+2+h)-(2^2+3(2)+2))/h$
invece a quanto pare deevo inserire al posto di ogni $x$ quel $(xo + h)$ e al posto di $xo$ il punto in cui l'esercizio mi chiede di calcolarne la derivabilita, no?
Mi sa che non hai ben chiaro cosa significhi $f(x+c)$ (data $f(x)$) ...
Per esempio se $f(x)=x+2$ com'è $f(x+2)$ ? e com'è $f(-x)$ ? ... ripeti con $f(x)=(x-3)/(x-1)$ ...
Per esempio se $f(x)=x+2$ com'è $f(x+2)$ ? e com'è $f(-x)$ ? ... ripeti con $f(x)=(x-3)/(x-1)$ ...
La cosa che mi stai chiedendo non la capisco, penso che siano cose che io non ho mai visto o al massimo le ho viste tanti anni fa da non ricordarle...quello che so io
è questo
se io ho $xo=1$ e la mia funzione è $f(x)=1+e^(1/x)$ allora $f(xo)=1+e^(1/1)$
se io ho $xo=2$ e la mia funzione è $f(x)=sen((x+2)/x)$ allora $f(xo)=sen(4/2)$
ma quello che mi hai chiesto tu non penso di averlo mai visto...cmq da quel che vedo da questi esercizi dove si chiede la derivabilita devo solo sostituire $xo + h$ a ogni $x$
è questo
se io ho $xo=1$ e la mia funzione è $f(x)=1+e^(1/x)$ allora $f(xo)=1+e^(1/1)$
se io ho $xo=2$ e la mia funzione è $f(x)=sen((x+2)/x)$ allora $f(xo)=sen(4/2)$
ma quello che mi hai chiesto tu non penso di averlo mai visto...cmq da quel che vedo da questi esercizi dove si chiede la derivabilita devo solo sostituire $xo + h$ a ogni $x$
Un paio di cose ...
- strano che tu non le abbia mai viste dato che per esempio il calcolo del rapporto incrementale è proprio un caso simile
- se hai una funzione $f(x)$, la funzione $f(x+c)$ la ottieni proprio sostituendo ogni $x$ con $x+c$ (d'altronde quando ti si chiede $f(2)$ cosa fai? Sostituisci ogni $x$ con $2$
- nel caso specifico degli esercizi che hai postato siccome le SINGOLE funzioni (i tratti di funzione) sono tutte derivabili dove richiesto, invece di utilizzare il rapporto incrementale, puoi calcolarti direttamente le due derivate (nel punto richiesto) e confrontarle.
- strano che tu non le abbia mai viste dato che per esempio il calcolo del rapporto incrementale è proprio un caso simile
- se hai una funzione $f(x)$, la funzione $f(x+c)$ la ottieni proprio sostituendo ogni $x$ con $x+c$ (d'altronde quando ti si chiede $f(2)$ cosa fai? Sostituisci ogni $x$ con $2$
- nel caso specifico degli esercizi che hai postato siccome le SINGOLE funzioni (i tratti di funzione) sono tutte derivabili dove richiesto, invece di utilizzare il rapporto incrementale, puoi calcolarti direttamente le due derivate (nel punto richiesto) e confrontarle.
be si quando calcolo il rapporto incrementale infatti uso la stessa formula e sostituisco $(xo+h)$ alle varie $x$ quindi mi stai dicendo che è esattamente quello che devo fare negli esercizi che ho scritto? scusa te lo chiedo perchè se no non capisco se è la stessa cosa, non sono uno molto pratico...
L'alternativa dicevi invece di derivare i singoli tratti, e poi che faccio ci sostituisco $2$? cioè se il mio primo pezzetto di funzione è $x^2+3x+2$ la derivata è $2x+3$ e poi ci sostituisco $2$? Ma funziona sempre questa alternativa? perchèè che succede se non è derivabile?
L'alternativa dicevi invece di derivare i singoli tratti, e poi che faccio ci sostituisco $2$? cioè se il mio primo pezzetto di funzione è $x^2+3x+2$ la derivata è $2x+3$ e poi ci sostituisco $2$? Ma funziona sempre questa alternativa? perchèè che succede se non è derivabile?
Si, sostituisci $x+h$ ad ogni $x$ ...
Questa alternativa funziona in questi casi dove hai due funzioni diverse ma derivabili a destra e a sinistra del punto critico ... cioè in questo tipo di esercizi si sa già se i due "pezzi" di funzione sono oppure no derivabili nel punto in questione, si tratta di capire se le derivate sono uguali (sempre nel punto) anzi quello che ti chiedono è il valore di un parametro per renderle uguali ... (generalmente)
Questa alternativa funziona in questi casi dove hai due funzioni diverse ma derivabili a destra e a sinistra del punto critico ... cioè in questo tipo di esercizi si sa già se i due "pezzi" di funzione sono oppure no derivabili nel punto in questione, si tratta di capire se le derivate sono uguali (sempre nel punto) anzi quello che ti chiedono è il valore di un parametro per renderle uguali ... (generalmente)
ok allora...nei prossimi giorni svolgero quelli che ho pubblicato all inizio del topic, poi mettero aanche quell altro in cui non ho la domanda....ma quindi tu che dici qual è a sto punto il metodo piu affidabile, cioè non ho capito a sto punto se il primo funzia sempre mentre il secondo no, o cosa...
in poche parole, devo acquisire gli 'automatismi' per saperlo fare in fretta durante ll esame, è meglio il primo metodo o il secondo?
in poche parole, devo acquisire gli 'automatismi' per saperlo fare in fretta durante ll esame, è meglio il primo metodo o il secondo?
Ripeto, in QUESTI casi dove hai una funzione "a tratti" e i tuoi tratti sono SICURAMENTE derivabili nel punto in questione (che solitamente è quello di "giunzione" fra i tratti) conviene calcolare le derivate nel punto e confrontarle.
buonasera, mi servirebbe sapere se ho fatto giusto l'ultimo esercizio che ho scritto nel primo messaggio in assoluto di questo topic.
Allora
il ragionamento che ho fatto è: se $x!=0$ la funzione esiste sempre ed è uguale a $f'(x)=2xcos(1/x)+x^3sen(1/x)$ (scusate una piccola domanda....la derivata di $sen(1/x)$ sarebbe $-sen(1/x)(-x)=xsen(1/x)$ vero?)
mentre se $x=0$ la $f'(x)=0$
Allora
il ragionamento che ho fatto è: se $x!=0$ la funzione esiste sempre ed è uguale a $f'(x)=2xcos(1/x)+x^3sen(1/x)$ (scusate una piccola domanda....la derivata di $sen(1/x)$ sarebbe $-sen(1/x)(-x)=xsen(1/x)$ vero?)
mentre se $x=0$ la $f'(x)=0$
"ramarro":
...la derivata di $sen(1/x)$ sarebbe $-sen(1/x)(-x)=xsen(1/x)$ vero?) ...
No.
Premesso che la funzione da derivare è il coseno non il seno, la derivata di $cos(1/x)$ è $sin(1/x)*1/x^2$.
Comunque l'esercizio ti chiede di usare la definizione di derivata non la derivata stessa ... nel post precedente ti suggerivo come verifica di usare le derivate ma SOLO QUANDO queste sono definite nel punto e qui non è il caso ...
Cordialmente, Alex
Quindi devo usare la formula del rapporto incrementale e sostituire come già mi avevi detto $xo +h$a $x$ poi eguaglio i 2 rapporti dove quello di destra sarà $0$ e quello di sinistra te lo dico domani poi basta é finito così ¿
Il testo ti chiede di usare il concetto di limite del rapporto incrementale da destra e da sinistra (come fai a sapere già quello di destra ?) e verificare se sono uguali (dopo aver precedentemente verificato la continuità).
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