Esercizi su limiti notevoli.

[cloe009]

salve a tutti,

ho i seguenti esercizi, alcuni di questi li ho risolti ottenendo il risultato voluto dal libro ma rimane il dubbio che il procedimento seguito sia sbagliato; in altri esercizi ho avuto maggiori problemi nel risolverli. Potreste cortesemente aiutarmi?

ecco gli esercizi.

1) $lim_(x->0)(tgnx)/x = n$
2) $lim_(x->0)(tgx-senx)/x^3=1/2$
3) $lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=0$
4) $lim_(x->0)(x(1-cosx)+2sen2x)/(4x-3senx)=4$
5) $lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=6$

(1) ecco lo svolgimento, del 1), il risultato è uscito ma non so se il procedimento sia giusto:
$lim_(x->0)(tgnx)/x$
$= lim_(x->0)(sinnx)/(cosnx)*1/x$
$= lim_(x->0)(sinnx)/(nx)*n*1/cosx$
$= lim_(x->0)n*1/cosx$
$= n*1 = n$

(2) non lo so fare, ho provato vari passaggi ma senza risultato... perciò qui spero possiate aiutarmi almeno nel pimo passaggio di impostazione.

(3) svolgimento:
$lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=$
$= lim_(x->0^+)2x*log(sin2x)/(2x)-log2x$
$= lim_(x->0^+)2x*log1-log2x$
$= lim_(x->0^+)0-log2x=0$

(4) svolgimento:
$lim_(x->0)(x(1-cosx)+2sin2x)/(4x-3sinx)=$
$= lim_(x->0)(x(1-cosx)+2*2x*(sin2x)/(2x))/(4x-3*x*(sinx)/x)$
$= lim_(x->0)(x(1-cosx)+4x)/x$
$= lim_(x->0)(1-cosx+4)$
$= 1-1+4 = 4$

(5)
$lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=$
niente da fare....


spero possiate aiutarmi

grazie mille.

[@melia]

"cloe009":è possibile accorciare il procedimento tramite una divisione polinomiale? $x-1 : x+3$

È esattamente quello che è stato fatto eseguendo la divisione a "completamento"
$(x-1) : (x+3)$ dà come quoziente $1$ e come resto $-4$ quindi $(x-1)/(x+3)=1-4/(x+3)$

[Sirya]

io ho un altro quesito:
$lim_(x->0) ((x-senx)/x^3)=1/6$
come si dimostra???
grazie a tutti per l'aiuto

[@melia]

È un classico esercizio da risolvere con L'Hospital, devi applicarlo 3 volte.

[Sirya]

con de l'hopital è facile, il guaio è farlo senza!!!

[@melia]

Senza devi trovare il grado di infinitesimo di $x-sinx$ o trovare due funzioni che ti permettano di usare il criterio del confronto.

[Sirya]

@melia:Senza devi trovare il grado di infinitesimo di $x-sinx$ o trovare due funzioni che ti permettano di usare il criterio del confronto.

suggerimento???
io non sono riuscita a risolverlo...