Esercizi su limiti notevoli.

[cloe009]

salve a tutti,

ho i seguenti esercizi, alcuni di questi li ho risolti ottenendo il risultato voluto dal libro ma rimane il dubbio che il procedimento seguito sia sbagliato; in altri esercizi ho avuto maggiori problemi nel risolverli. Potreste cortesemente aiutarmi?

ecco gli esercizi.

1) $lim_(x->0)(tgnx)/x = n$
2) $lim_(x->0)(tgx-senx)/x^3=1/2$
3) $lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=0$
4) $lim_(x->0)(x(1-cosx)+2sen2x)/(4x-3senx)=4$
5) $lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=6$

(1) ecco lo svolgimento, del 1), il risultato è uscito ma non so se il procedimento sia giusto:
$lim_(x->0)(tgnx)/x$
$= lim_(x->0)(sinnx)/(cosnx)*1/x$
$= lim_(x->0)(sinnx)/(nx)*n*1/cosx$
$= lim_(x->0)n*1/cosx$
$= n*1 = n$

(2) non lo so fare, ho provato vari passaggi ma senza risultato... perciò qui spero possiate aiutarmi almeno nel pimo passaggio di impostazione.

(3) svolgimento:
$lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=$
$= lim_(x->0^+)2x*log(sin2x)/(2x)-log2x$
$= lim_(x->0^+)2x*log1-log2x$
$= lim_(x->0^+)0-log2x=0$

(4) svolgimento:
$lim_(x->0)(x(1-cosx)+2sin2x)/(4x-3sinx)=$
$= lim_(x->0)(x(1-cosx)+2*2x*(sin2x)/(2x))/(4x-3*x*(sinx)/x)$
$= lim_(x->0)(x(1-cosx)+4x)/x$
$= lim_(x->0)(1-cosx+4)$
$= 1-1+4 = 4$

(5)
$lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=$
niente da fare....


spero possiate aiutarmi

grazie mille.

[leena1]

1) $lim_(x->0)(tgnx)/x = n$ VA BENE
2) $lim_(x->0)(tgx-senx)/x^3=1/2$ Scriviti la tangente come rapporto tra seno e coseno, metti in evidenza il seno..
3) $lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=0$ Usa la proprietà dei logaritmi: $loga-logb=log(a/b)$
4) $lim_(x->0)(x(1-cosx)+2sen2x)/(4x-3senx)=4$ VA BENE
5) $lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=6$ Dividi numeratore e denominatore per 6x..

[cloe009]

(5)
l'ho rifatto il $lim_(x->0)(sen3x-5sen2x+x)/(x-2tgx)=6$

ho questi passaggi spero siano giusti, e comunque tu come fai a dire subito che è opportuno dividere per $6x$?

ecco i miei passaggi...
$= lim_(x->0)(3x*(sin3x)/(3x)-5*2x*(sin2x)/(2x)+x)/(x-2x*(sinx)/(x)*1/cosx)$
$= lim_(x->0)(3x-10x+x)/(x-2x)$
$= lim_(x->0)(-6x)/(x-2x)$
$= lim_(x->0)(-6x)/(-x) = 6$

ora vedo gli altri esercizi con i tuoi suggerimenti...

inoltre $sen2x$ che puo essere risolto come $2x*(sin2x)/(2x)$
non viene risolto anche tramite la formula di duplicazione, e se si è opportuno utilizzarla o complica solo le cose?

[cloe009]

ho rifatto il (3)
$lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=0$

svolgimento:
$lim_(x->0^+)(log(sin2x)/(2x))$
$= log1 = 0$

ho rifatto il (2) ma senza successo:
scrivo i passaggi che ho fatto:
$= lim_(x->0) ((sinx/cosx)-sinx)/(x^3)$
$= lim_(x->0)(sinx)/(cosx) * 1/x^3 - (sinx)/x^3$
$= lim_(x->0)(sinx)/x*(1)/(x^2)*1/(cosx)-(sinx)/(x)*1/x^2$
$= lim_(x->0)(1)/(x^2)*1/cosx-1/x^2$

ma non ottengo il risultato desiderato.... dove sbaglio.
il (5) del post precedente va bene?

grazie ancora.

[leena1]

La formula di duplicazione la puoi utilizzare, ma i limiti notevoli sono molto più utili una volta che li sai usare bene

Il terzo spero fosse solo un errore di scrittura, è così (c'è differenza..)
$lim_(x->0^+)(logsen2x-log2x)=lim_(x->0^+)log((sin2x)/(2x))= log1 = 0$

il (2):
$= lim_(x->0) ((sinx/cosx)-sinx)/(x^3)$
$= lim_(x->0) ((sinx-cosxsinx)/cosx)/(x^3)$
$= lim_(x->0) (sinx-cosxsinx)/(x^3cosx)$
$= lim_(x->0) sinx(1-cosx)/(x^3cosx)$

continua tu

[cloe009]

hmm.. mi sa che è meglio se me lo dici tu.... o perlomeno dammi un altro indizio....

[leena1]

$= lim_(x->0) sinx(1-cosx)/(x^3cosx)$

Conosci il limite notevole $= lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2)=1/2$?
Se no te lo puoi ricavare tramite il limite notevole del seno moltiplicando numeratore e denominatore per (1+cosx)

PS. Qualsiasi altra domanda chiedi pure, ma domani devo svegliarmi presto e quindi ora vado a dormire. Ti rispondo domani casomai

[cloe009]

il limite notevole del coseno non lo so anche perchè la traccia dell'esercizio dice di utilizzare quello del seno:

comunque questi sono i passaggi penso giusti che ho ottenuto,
forse è un procedimento troppo lungo...

$= lim_(x->0)sinx*(1-cosx)/(x^3*cosx)$
$= lim_(x->0)x*(sinx)/x*(1-cosx)/(x^3*cosx)$
$= lim_(x->0)(x-xcosx)/(x^3*cosx)$
$= lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2*cosx)$
$= lim_(x->0)(1-cosx)/(x^2*cosx)*(1+cosx)/(1+cosx)$
$= lim_(x->0)(1-cos^(2)x)/(x^2*cosx+x^2*cos^2x)$
$= lim_(x->0)(sen^(2)x)/(x^2*(cosx+cos^2x)$
$= lim_(x->0)(x*(sinx)/(x)*x(sinx)/(x))/(x^2*(cosx+cos^2x))$
$= 1/(1*(1+1*1)) = 1/2$

[leena1]

Perfetto

[cloe009]

mille grazie leena.
ce ne sono altri di esercizi inerenti questo limite notevole, ma ancora devo farli, in caso di problemi li posto qui.

Ora si consideri il limite notevole $lim_(x->\infty)(1+1/x)=e$

ho i seguenti esercizi, uno dei quali ho svolto e penso giusto.. con gli altri ho problemi..
eccoli:

6) $lim_(x->\infty)((x-1)/(x+3))^(x+2)=e^(-4)$
7) $lim_(x->+\infty)((2x+3)/(2x-1))^(3x+4)=e^6$
8) $lim_(x->0)(log(1+x))/x=1$
9) $lim_(x->0)(log(1+3x))/x=3$

il (6) e il (7) penso siano molto simili...
ma non ho capito come si risolvono...

di questi ho fatto solo il n. (8) in questo modo..:
(8)
$lim_(x->0)(log(1+x))/x=1$
$= lim_(x->0)(1/x)*(log(1+x))=$
$= lim_(t->\infty)t*log(1+1/t)=$
$= lim_(t->\infty)log(1+1/t)^t$
$= lim_(t->\infty)log_e e = 1$

(9) ho cominciato a farlo ma non fino alla fine:
$lim_(x->0)(log(1+3x))/x=3$
$= lim_(x->0)(1/x)*log(1+3x)=$
ho posto $1/x=t \Rightarrow x=1/t$
$= lim_(t->\infty)t*log(1+3/t)=$

ma poi mi fermo qui.... come si continua?

spero possiate aiutarmi.
grazie mille.

[@melia]

"cloe009":
(9) ho cominciato a farlo ma non fino alla fine:
$lim_(x->0)(log(1+3x))/x=3$
$= lim_(x->0)(1/x)*log(1+3x)=$
ho posto $1/x=t \Rightarrow x=1/t$
$= lim_(t->\infty)t*log(1+3/t)=$ ma poi mi fermo qui.... come si continua? spero possiate aiutarmi. grazie mille.

Avrei sostituito $1/(3x)=t \Rightarrow x=1/(3t)$
$= lim_(t->\infty)3t*log(1+1/t)=lim_(t->\infty)3*log(1+1/t)^t=3$

[leena1]

6) $lim_(x->\infty)((x-1)/(x+3))^(x+2)=$
$=lim_(x->\infty)((x+3-4)/(x+3))^(x+2)=$
$=lim_(x->\infty)(1-(4)/(x+3))^(x+2)=$
$=lim_(x->\infty)(1-(4)/(x+3))^((x+3)(x+2)/(x+3))=$
$=lim_(x->\infty)((1-(4)/(x+3))^(x+3))^((x+2)/(x+3))$

Siccome

a) per il limite
$lim_(x->\infty)(1-(4)/(x+3))^(x+3) = lim_(x->\infty)(1+(-(4)/(x+3)))^(x+3)$
posso cambiare le variabili:
$-(4)/(x+3)=1/t$ cioè quindi $t=-(x+3)/4$ oppure $-4t=x+3$ e $x=3-4t$
Se la $x->\infty$ allora anche $t->\infty$ e si ha
$lim_(x->\infty)(1+(-(4)/(x+3)))^(x+3)=lim_(t->\infty)(1+1/t)^(-4t)=lim_(t->\infty)((1+1/t)^t)^(-4)=e^-4$

b) per l'esponente si ha
$=lim_(x->\infty)(x+2)/(x+3)=1

Quindi
$=lim_(x->\infty)((1-(4)/(x+3))^(x+3))^((x+2)/(x+3))=(e^(-4))^1=e^(-4)$

Ora prova con l'altro

[cloe009]

perdonatemi, non mi è chiaro perchè da questo passaggio:
$lim_(x->\infty)(x+2)/(x+3)=1$
si ottiene 1?

[@melia]

Raccogliendo la x si ottiene
$lim_(x->\infty)(x+2)/(x+3)=lim_(x->\infty)(x(1+2/x))/(x(1+3/x))=$ adesso si semplifica la x ottenendo $lim_(x->\infty) (1+2/x)/(1+3/x)$
$2/x$ e $3/x$ tendono entrambi a 0 quindi rimane solo $(1+0)/(1+0)=1$

[cloe009]

grazie. un'altra domanda banale:
se ho $-4t = x + 3$ portando la $x$ al primo membro non si ottiene $x=-3-4t$?

[@melia]

Certamente, anche se stiamo lavorando con i limiti valgono ancora i principi di equivalenza delle equazioni.

[cloe009]

lo so, quindi la $x$ ricavata 4 post prima è sbagliata.... anche se a dir la verità, essa non viene utilizzata come elemento singolo....

[@melia]

hai ragione, ma leena non poteva accorgersi di quello che credo un errore di stampa, perché non lo ha utilizzato nel risultato.

[cloe009]

è possibile accorciare il procedimento tramite una divisione polinomiale? $x-1 : x+3$

[leena1]

"leena":
$-(4)/(x+3)=1/t$ cioè quindi $t=-(x+3)/4$ oppure $-4t=x+3$ e $x=3-4t$

Hai ragione errore mio.. $x=-3-4t$

[leena1]

"cloe009":è possibile accorciare il procedimento tramite una divisione polinomiale? $x-1 : x+3$

Se utilizzi la divisone arrivi al terzo passaggio, gli altri comunque li devi fare.