Esercizi su ellisse
Ciao ragazzi... premetto che è il primo post che metto su questo forum, per cui fatemi sapere se faccio errori nella scrittura del messaggio (tag errati ecc...).
Sono ormai 4/5 ore che sono dietro a questi esercizi assegnati per le vacanze estive e non so più dove sbattere la testa
Primo esercizio:
Scrivi l’equazione dell’ellisse, avente centro nell’origine, tangente alla retta di equazione $ y= –2x – 3 $ e avente un fuoco in $ F(–1, 0) $ . Detta "e" l’eccentricità dell’ellisse, verifica che l’ellisse è il luogo dei punti P del piano tali che $ PF/PH=e$ ,avendo indicato con H la proiezione di P sulla retta di equazione $ x= –2 $ .
Risultato: $ x^2+2y^2=2; sqrt(2)/2 $
Il secondo punto sembra fattibile, ma proprio non riesco a capire come trovare l'equazione dell'ellisse
Secondo esercizio:
Traccia il grafico della funzione f definita da $ y=sqrt(1-x^2/4) $ e determina il punto P, appartenente al grafico, tale che la retta tangente a f in P forma con l’asse x un angolo di 120°.Determina i vertici del rettangolo inscritto nella regione di piano limitata dal grafico di f e dall’asse x avente area uguale a 2.
Risultato: $ P(4sqrt(3/13),sqrt(1/13)) $; vertici rettangolo: $ sqrt(2),sqrt(2)/2; -sqrt(2),sqrt(2)/2; sqrt(2),0; -sqrt(2),0 $
Anche qui sono bloccato al primo punto... Ho capito che la condizione dell'angolo di 120 vuol dire che m = -sqrt(3) ma poi non so come muovermi. Grazie mille in anticipo
Sono ormai 4/5 ore che sono dietro a questi esercizi assegnati per le vacanze estive e non so più dove sbattere la testa
Primo esercizio:
Scrivi l’equazione dell’ellisse, avente centro nell’origine, tangente alla retta di equazione $ y= –2x – 3 $ e avente un fuoco in $ F(–1, 0) $ . Detta "e" l’eccentricità dell’ellisse, verifica che l’ellisse è il luogo dei punti P del piano tali che $ PF/PH=e$ ,avendo indicato con H la proiezione di P sulla retta di equazione $ x= –2 $ .
Risultato: $ x^2+2y^2=2; sqrt(2)/2 $
Il secondo punto sembra fattibile, ma proprio non riesco a capire come trovare l'equazione dell'ellisse
Secondo esercizio:
Traccia il grafico della funzione f definita da $ y=sqrt(1-x^2/4) $ e determina il punto P, appartenente al grafico, tale che la retta tangente a f in P forma con l’asse x un angolo di 120°.Determina i vertici del rettangolo inscritto nella regione di piano limitata dal grafico di f e dall’asse x avente area uguale a 2.
Risultato: $ P(4sqrt(3/13),sqrt(1/13)) $; vertici rettangolo: $ sqrt(2),sqrt(2)/2; -sqrt(2),sqrt(2)/2; sqrt(2),0; -sqrt(2),0 $
Anche qui sono bloccato al primo punto... Ho capito che la condizione dell'angolo di 120 vuol dire che m = -sqrt(3) ma poi non so come muovermi. Grazie mille in anticipo
Risposte
Sporcati un po' le mani.
Per il primo punto:
1) qual è l'equazione canonica dell'ellisse? Mettila a sistema con la retta. Otterrai un'equazione di secondo grado...ma sapendo che non è una retta qualsiasi che interseca l'ellisse in due punti (o nessun punto) ma bensì una retta tangente, quante soluzioni devono esserci? E quindi il delta dovrai porlo uguale a cosa?
2) Il fuoco dato cosa ti dice? Conosci una relazione fra la coordinata del fuoco e i parametri dell'ellisse?
Da 1) e 2) otterrai due vincoli...e risolverai un sistema lineare di due equazioni in $a^2$ e $b^2$
(fossi in te chiamerei $a^2=alpha$ e $b^2=beta$...giusto per non portarmi dietro i quadrati tutto il tempo).
Per ora, buon lavoro
Per il primo punto:
1) qual è l'equazione canonica dell'ellisse? Mettila a sistema con la retta. Otterrai un'equazione di secondo grado...ma sapendo che non è una retta qualsiasi che interseca l'ellisse in due punti (o nessun punto) ma bensì una retta tangente, quante soluzioni devono esserci? E quindi il delta dovrai porlo uguale a cosa?
2) Il fuoco dato cosa ti dice? Conosci una relazione fra la coordinata del fuoco e i parametri dell'ellisse?
Da 1) e 2) otterrai due vincoli...e risolverai un sistema lineare di due equazioni in $a^2$ e $b^2$
(fossi in te chiamerei $a^2=alpha$ e $b^2=beta$...giusto per non portarmi dietro i quadrati tutto il tempo).
Per ora, buon lavoro
Bokonon ti ha dato le dritte per la soluzione ed io te ne do un paio per la scrittura.
Hai scritto $ PF/PH=e$; per ottenere $ (PF)/(PH)=e$ bisogna mettere fra parentesi tonde sia il numeratore che il denominatore perché hanno più di un carattere.
La prossima volta, ti conviene cliccare su Anteprima prima di inviare, così vedi subito che scritta si otterrà. Comunque, complimenti: pochi riescono a scrivere così bene il loro primo messaggio.
Hai scritto $ PF/PH=e$; per ottenere $ (PF)/(PH)=e$ bisogna mettere fra parentesi tonde sia il numeratore che il denominatore perché hanno più di un carattere.
La prossima volta, ti conviene cliccare su Anteprima prima di inviare, così vedi subito che scritta si otterrà. Comunque, complimenti: pochi riescono a scrivere così bene il loro primo messaggio.
"Bokonon":
Sporcati un po' le mani.
Per il primo punto:
1) qual è l'equazione canonica dell'ellisse? Mettila a sistema con la retta. Otterrai un'equazione di secondo grado...ma sapendo che non è una retta qualsiasi che interseca l'ellisse in due punti (o nessun punto) ma bensì una retta tangente, quante soluzioni devono esserci? E quindi il delta dovrai porlo uguale a cosa?
2) Il fuoco dato cosa ti dice? Conosci una relazione fra la coordinata del fuoco e i parametri dell'ellisse?
Da 1) e 2) otterrai due vincoli...e risolverai un sistema lineare di due equazioni in $a^2$ e $b^2$
(fossi in te chiamerei $a^2=alpha$ e $b^2=beta$...giusto per non portarmi dietro i quadrati tutto il tempo).
Per ora, buon lavoro
Grazie mille per le dritte!
Per adesso ho trovato il sistema formato da:
$x^4+16a^2b^2x^2+12a^2b^2x+9a^2b^2 = 0$
$b^2=a^2-1$
che risolto viene:
$x^4+16a^4x^2-16a^2x^2+12a^4x-12a^2x+9a^4-9a^2 = 0$
Da qui pensavo di fare dei raccoglimenti per esempio raccogliere i termini in $a^4$ e $a^2$ ma poi non saprei come continuare visto che mi rimane un $x^4$
Mi sa che non hai capito.
Mettendo a sistema la retta con l'equazione canonica dell'ellisse, devi ottenere un'equazione di secondo grado che deve avere due soluzioni coincidenti (perché la retta è tangente). Quindi di quella equazione a te interessa porre solo il $Delta^2=0$ che diventerà il tuo primo vincolo
Mettendo a sistema la retta con l'equazione canonica dell'ellisse, devi ottenere un'equazione di secondo grado che deve avere due soluzioni coincidenti (perché la retta è tangente). Quindi di quella equazione a te interessa porre solo il $Delta^2=0$ che diventerà il tuo primo vincolo
Ahh ok ora ho capito, il primo esercizio l'ho finito. Idee per il secondo?
Hai trovato il coefficiente angolare della retta, ovvero la tangente dell'angolo dato. Fai la derivata e uguagliala ad essa (capisci il perché?). Troverai l'ascissa del punto P e sostituendo nella funzione troverai anche l'ordinata.
Purtroppo le derivate non le abbiamo fatte, non c'è un modo senza?
Ma certo, usando la stessa strategia dell'esercizio precedente.
Quando disegni il grafico della funzione, scopri che è metà ellisse (dove la y è positiva) con $a=2$ e $b=1$.
La retta tangente ha un'inclinazione negativa quindi toccherà l'ellisse nel primo quadrante e l'intercetta è per forza positiva.
Conosciamo il coefficiente angolare quindi abbiamo una retta del tipo $y=-sqrt(3)x+q$ e ci manca appunto solo l'intercetta.
La mettiamo a sistema con l'ellisse ottenendo un'equazione di secondo grado in $x$. Poniamo il $Delta=0$ ottenendo un'equazione di secondo grado in $q$. Delle due soluzioni, scarterai quella negativa per le ragioni suddette.
Poi sostituisci il valore di $q$ trovato nell'equazione di secondo grado in $x$ per trovare appunto l'ascissa del punto $P$. E infine sostituisci l'ascissa nell'ellisse (oppure, anche meglio, nella retta) per trovarne l'ordinata.
....però sto facendo tutto io. D'ora in poi dovrai sforzarti un poco
Quando disegni il grafico della funzione, scopri che è metà ellisse (dove la y è positiva) con $a=2$ e $b=1$.
La retta tangente ha un'inclinazione negativa quindi toccherà l'ellisse nel primo quadrante e l'intercetta è per forza positiva.
Conosciamo il coefficiente angolare quindi abbiamo una retta del tipo $y=-sqrt(3)x+q$ e ci manca appunto solo l'intercetta.
La mettiamo a sistema con l'ellisse ottenendo un'equazione di secondo grado in $x$. Poniamo il $Delta=0$ ottenendo un'equazione di secondo grado in $q$. Delle due soluzioni, scarterai quella negativa per le ragioni suddette.
Poi sostituisci il valore di $q$ trovato nell'equazione di secondo grado in $x$ per trovare appunto l'ascissa del punto $P$. E infine sostituisci l'ascissa nell'ellisse (oppure, anche meglio, nella retta) per trovarne l'ordinata.
....però sto facendo tutto io. D'ora in poi dovrai sforzarti un poco
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