Esercizi Limiti Tipo per Verifica di Matematica
Chiedo cortesemente la correzione delle prime 4 ed eventualmente correggerle in caso di errori e spiegarmi come risolvere l'ultima che proprio non so come partire, grazie.
Risposte
Esercizio 1
Ci sono talmente tanti errori di calcolo che non riesco a seguire i passaggi.
Ma c'e` un errore piu` grave di tutti:
quando hai una forma
In questo modo ti perdi infinitesimi di ordine superiore che non dovrebbero essere trascurati! Infatti bisognerebbe fare la sostituzione:
insomma: hai scelto la strada piu` complicata!!!
Per calcolare questo limite hai due modi: 1) sviluppo di McLaurin, 2) regola de l'Hopital
Con lo sviluppo di McLaurin bisogna tenere molti termini e non troncare alle potenze piu` basse:
prima si sviluppa l'esponenziale:
ora si sviluppa il sin usando
ora basta fare le semplificazioni e finire i calcoli:
Se usi l'Hopital arrivi allo stesso risultato (attenzione: calcoli lunghi!!!).
Aggiunto 20 minuti più tardi:
Esercizio 2
Di nuovo lo stesso errore grave.
Anche questo si calcola con gli sviluppi di McLaurin rispetto alla variabile 1/x per il numeratore, e rispetto a x^2/(x+1)^3 per il denominatore
(che tendono a zero per x che va an infinito)
sviluppiamo il sin e il log:
ora sviluppiamo l'esponenziale:
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Esercizio 3
Giusto.
Esercizio 4
Giusto
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Esercizio 5
Mi sembra che la sola possibilita` praticabile sia l'Hopital:
Ci sono talmente tanti errori di calcolo che non riesco a seguire i passaggi.
Ma c'e` un errore piu` grave di tutti:
quando hai una forma
[math]\frac{\sin X}{X}[/math]
con X che tende a 0, si sa che la frazione tende a 1. Ma in questo caso e` sbagliato sostituire 1 al fattore [math]\frac{\sin(e^x-1)}{e^x-1}[/math]
perche' questo e` moltiplicato per [math]\frac{e^x-1}{x^4}[/math]
e poi va sommato ai restanti termini...In questo modo ti perdi infinitesimi di ordine superiore che non dovrebbero essere trascurati! Infatti bisognerebbe fare la sostituzione:
[math]\frac{\sin X}{X}=1-\frac{X^2}{6}+\dots[/math]
, dove [math]X=e^x-1[/math]
che andrebbe a sua volta sviluppato... insomma: hai scelto la strada piu` complicata!!!
Per calcolare questo limite hai due modi: 1) sviluppo di McLaurin, 2) regola de l'Hopital
Con lo sviluppo di McLaurin bisogna tenere molti termini e non troncare alle potenze piu` basse:
[math]\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(e^x-1)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}=\hspace{3cm}[/math]
prima si sviluppa l'esponenziale:
[math]\lim_\limits{x\to 0}\frac{\sin(1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots -1)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}=\hspace{3cm}[/math]
[math]\lim_\limits{x\to 0}
\frac{\sin(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots )-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
\frac{\sin(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots )-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
ora si sviluppa il sin usando
[math]\sin X=X-\frac{X^3}{6}+\dots[/math]
:[math]\lim_\limits{x\to 0}
\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+O(x^5)-\frac{1}{6}\left( x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+O(x^5)\right)^3-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+O(x^5)-\frac{1}{6}\left( x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+O(x^5)\right)^3-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
[math]\lim_\limits{x\to 0}
\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{6}-\frac{1}{6}\frac{3}{2}x^4+O(x^5)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
\frac{x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}-\frac{x^3}{6}-\frac{1}{6}\frac{3}{2}x^4+O(x^5)-x-\frac{x^2}{2}}{x^4}
=\hspace{3cm}[/math]
ora basta fare le semplificazioni e finire i calcoli:
[math]\lim_\limits{x\to 0}\frac
{\frac{x^4}{24}-\frac{x^4}{4}}{x^4}=\frac{1}{24}-\frac{1}{4}=-\frac{5}{24}
[/math]
{\frac{x^4}{24}-\frac{x^4}{4}}{x^4}=\frac{1}{24}-\frac{1}{4}=-\frac{5}{24}
[/math]
Se usi l'Hopital arrivi allo stesso risultato (attenzione: calcoli lunghi!!!).
Aggiunto 20 minuti più tardi:
Esercizio 2
Di nuovo lo stesso errore grave.
Anche questo si calcola con gli sviluppi di McLaurin rispetto alla variabile 1/x per il numeratore, e rispetto a x^2/(x+1)^3 per il denominatore
(che tendono a zero per x che va an infinito)
[math]\lim_\limits{x\to \infty}
\frac{e^{\sin\frac{1}{x}}-1-\frac{1}{x}}{\log\left(1+\frac{x^2}{(x+1)^3}\right)-\frac{x^2}{(x+1)^3}}
=\hspace{3cm}
[/math]
\frac{e^{\sin\frac{1}{x}}-1-\frac{1}{x}}{\log\left(1+\frac{x^2}{(x+1)^3}\right)-\frac{x^2}{(x+1)^3}}
=\hspace{3cm}
[/math]
sviluppiamo il sin e il log:
[math]\lim_\limits{x\to \infty}
\frac{e^{(\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\dots)}-1-\frac{1}{x}}
{\frac{x^2}{(x+1)^3}-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots-\frac{x^2}{(x+1)^3}}=\hspace{3cm}
[/math]
\frac{e^{(\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\dots)}-1-\frac{1}{x}}
{\frac{x^2}{(x+1)^3}-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots-\frac{x^2}{(x+1)^3}}=\hspace{3cm}
[/math]
ora sviluppiamo l'esponenziale:
[math]\lim_\limits{x\to \infty}
\frac{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\dots\right)^2+\dots-1-\frac{1}{x}}
{-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots}
=\hspace{3cm}
[/math]
\frac{1+\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{6x^3}+\dots\right)^2+\dots-1-\frac{1}{x}}
{-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots}
=\hspace{3cm}
[/math]
[math]\lim_\limits{x\to \infty}
\frac{\frac{1}{2x^2}+O(\frac{1}{x^3}}{-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots}=
\lim_\limits{x\to \infty}\frac{1}{2x^2}\cdot\frac{-2(x+1)^6}{x^4}=-1
[/math]
\frac{\frac{1}{2x^2}+O(\frac{1}{x^3}}{-\frac{1}{2}\frac{x^4}{(x+1)^6}+\dots}=
\lim_\limits{x\to \infty}\frac{1}{2x^2}\cdot\frac{-2(x+1)^6}{x^4}=-1
[/math]
Aggiunto 8 minuti più tardi:
Esercizio 3
Giusto.
Esercizio 4
Giusto
Aggiunto 4 minuti più tardi:
Esercizio 5
Mi sembra che la sola possibilita` praticabile sia l'Hopital:
[math]\lim_\limits{x\to\infty}\log(\log x)e^{-x}=
\lim_\limits{x\to\infty}\frac{\log(\log x)}{e^x}=
\lim_\limits{x\to\infty}\frac{\log x\cdot \frac{1}{x}}{e^x}=0
[/math]
\lim_\limits{x\to\infty}\frac{\log(\log x)}{e^x}=
\lim_\limits{x\to\infty}\frac{\log x\cdot \frac{1}{x}}{e^x}=0
[/math]
Grazie mille ma non abbiamo ne fatto l'hopital ne McLaurin. La Professoressa vuole che utilizziamo i limiti notevoli e senza condiererare gli infinitesimi. Ovvero quando incontrimo per esempio senx/x lo andiamo semplicemente a semplificare considerandolo 1. Quindi dove sono gli errori? Ho notato di aver lasciato un seno a numeratore per sbaglio e un 4 che sarebbe una x^4: questi errrori di trascrittura si trovano al terzo passaggio ma nel quarto il limite torna corretto.
I primi due esercizi che hai scritto devono essere risolti con McLaurin (cioe` Taylor) oppure l'Hopital.
Le forme tipo sinX/X possono essere utili se vengono fattorizzate, cioe` se compaiono moltiplicate (come negli es. 3 e 4), ma non negli es. 1 e 2, dove vengono moltiplicate per un altro fattore E POI SOMMATE ad altri termini!
Aggiunto 20 ore 35 minuti più tardi:
La Professoressa vuole che utilizziamo i limiti notevoli e senza condiererare gli infinitesimi. Ovvero quando incontrimo per esempio senx/x lo andiamo semplicemente a semplificare considerandolo 1.
Negli esercizi 1 e 2 non si puo` sostituire 1 alle espressioni sinX/X, come hai fatto tu. E` sbagliato!
Infatti il tuo risultato e` diverso.
Puoi verificarlo se hai una calcolatrice grafica (oppure usando un programma grafico come geogebra): fai il grafico delle funzioni di quei limiti e vedrai che non tendono ai risultati che hai trovato tu.
Ripeto: e` corretto sostituire sinX/X=1 solo nei casi come gli es. 3 e 4, ma non negli es. 1 e 2, perche` gli infinitesimi di ordine superiore non si possono trascurare.
Le forme tipo sinX/X possono essere utili se vengono fattorizzate, cioe` se compaiono moltiplicate (come negli es. 3 e 4), ma non negli es. 1 e 2, dove vengono moltiplicate per un altro fattore E POI SOMMATE ad altri termini!
Aggiunto 20 ore 35 minuti più tardi:
La Professoressa vuole che utilizziamo i limiti notevoli e senza condiererare gli infinitesimi. Ovvero quando incontrimo per esempio senx/x lo andiamo semplicemente a semplificare considerandolo 1.
Negli esercizi 1 e 2 non si puo` sostituire 1 alle espressioni sinX/X, come hai fatto tu. E` sbagliato!
Infatti il tuo risultato e` diverso.
Puoi verificarlo se hai una calcolatrice grafica (oppure usando un programma grafico come geogebra): fai il grafico delle funzioni di quei limiti e vedrai che non tendono ai risultati che hai trovato tu.
Ripeto: e` corretto sostituire sinX/X=1 solo nei casi come gli es. 3 e 4, ma non negli es. 1 e 2, perche` gli infinitesimi di ordine superiore non si possono trascurare.
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