Esercizi con principio di induzione
Non riesco a dimostrare per n+1 questo
$ sum_(i = 1)^(n) i^3 = 1/4 n^2(n+1)^2 $
e questo
$2^3+4^3+6^3... (2n)^3= 2n^2(n+1)^2$
Per favore mi aiutate a dimostrarlI?
nel primo ho scritto come tesi:
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 n^2(n+1)^2(n+2)^2$
nel secondo come tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Grazie a tutti.
+++++++++++++++++++++++
INoltre prendendo un qualsiasi esercizio tipo questo
$2+4+6... 2n= n(n+1)$
in generale per la tesi per n+1 ci si puo' basare sul fatto che basta utilizzare la parte a destra , in questo caso n(n+1), ed aggiungere il primo numero della serie , che è 2 in questo caso, moltiplicato per n+1?
quindi abbiamo
$n(n+1)+2(n+1) = (n+1)(n+2)$ cvd?
$ sum_(i = 1)^(n) i^3 = 1/4 n^2(n+1)^2 $
e questo
$2^3+4^3+6^3... (2n)^3= 2n^2(n+1)^2$
Per favore mi aiutate a dimostrarlI?
nel primo ho scritto come tesi:
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 n^2(n+1)^2(n+2)^2$
nel secondo come tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Grazie a tutti.
+++++++++++++++++++++++
INoltre prendendo un qualsiasi esercizio tipo questo
$2+4+6... 2n= n(n+1)$
in generale per la tesi per n+1 ci si puo' basare sul fatto che basta utilizzare la parte a destra , in questo caso n(n+1), ed aggiungere il primo numero della serie , che è 2 in questo caso, moltiplicato per n+1?
quindi abbiamo
$n(n+1)+2(n+1) = (n+1)(n+2)$ cvd?
Risposte
"mpg":
nel primo ho scritto come tesi:
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 n^2(n+1)^2(n+2)^2$
Non va bene perché non ci deve essere $n^2$.
nel secondo come tesi
$ sum_(i = 1)^(n) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Probabilmente volevi scrivere $n+1$ come estremo superiore della sommatoria, giusto?
Perché non posti i conti che hai fatto fin'ora e ci dici dove ti blocchi?
$2+4+6... 2n= n(n+1)$
in generale per la tesi per n+1 ci si puo' basare sul fatto che basta utilizzare la parte a destra , in questo caso n(n+1), ed aggiungere il primo numero della serie , che è 2 in questo caso, moltiplicato per n+1?
Questo vale solo per somme di progressioni aritmetiche, cioè cose del tipo $k+2k+3k+4k+...+nk+...$, dove $k$ è un qualsiasi numero (volendo anche reale).
Si ok la tesi è
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 (n+1)^2(n+2)^2$
ma poi non so come fare...
Forse $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$ ??
Nel secondo è come dici tu ho corretto ma sempre non so come andare avanti...
O anche qui:
$ 2(n+1)^2(n+2)^2+ 8(n+1)^3$ ??
Per l'ultimo che dicevo sull'n+1 invece è forse meglio dire che se ho tipo $5+10+15.... 5n= 5/2n(n+1)$ vale il discorso nella dimostrazione di prendere si la parte destra + l'ultimo valore a sx (es. 5n) pero' al posto di n metto n+1?
Verrebbe $5/2n(n+1)+5(n+1)$
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 (n+1)^2(n+2)^2$
ma poi non so come fare...
Forse $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$ ??
Nel secondo è come dici tu ho corretto ma sempre non so come andare avanti...
O anche qui:
$ 2(n+1)^2(n+2)^2+ 8(n+1)^3$ ??
Per l'ultimo che dicevo sull'n+1 invece è forse meglio dire che se ho tipo $5+10+15.... 5n= 5/2n(n+1)$ vale il discorso nella dimostrazione di prendere si la parte destra + l'ultimo valore a sx (es. 5n) pero' al posto di n metto n+1?
Verrebbe $5/2n(n+1)+5(n+1)$
Ok, hai capito quali sono le tesi, ma c'è anche un'altra componente fondamentale nelle dimostrazioni, le ipotesi! Perché non espliciti anche quelle? Concentrati su un esercizio per volta.
Si avevo capito cosa stavi dicendo e ti ho già risposto, comunque non è una cosa molto sensata cercare di memorizzare delle regole di questo tipo che sono iper-particolare e lasciano il tempo che trovano, piuttosto cerca di capire come si fanno questi esercizi in generale.
"mpg":
Per l'ultimo che dicevo sull'n+1 invece è forse meglio dire che se ho tipo $ 5+10+15.... 5n= 5/2n(n+1) $ vale il discorso nella dimostrazione di prendere si la parte destra + l'ultimo valore a sx (es. 5n) pero' al posto di n metto n+1?
Verrebbe $ 5/2n(n+1)+5(n+1) $
Si avevo capito cosa stavi dicendo e ti ho già risposto, comunque non è una cosa molto sensata cercare di memorizzare delle regole di questo tipo che sono iper-particolare e lasciano il tempo che trovano, piuttosto cerca di capire come si fanno questi esercizi in generale.
"mpg":
ma poi non so come fare...
Forse $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$ ??
Come "forse"?
Provaci! Raccogli $((n+1)^2)/4$ e vedi cosa succede.
Dunque dovrebbe essere cosi'
L'ipotesi della prima è
$ sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3 = 1/4n^2(n+1)^2 $
tesi:
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 (n+1)^2(n+2)^2$
L'ipotesi della seconda:
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2n^2(n+1)^2 $
la tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Se qui è tutto giusto poi che procedimenti fai?
L'ipotesi della prima è
$ sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3 = 1/4n^2(n+1)^2 $
tesi:
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = 1/4 (n+1)^2(n+2)^2$
L'ipotesi della seconda:
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2n^2(n+1)^2 $
la tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Se qui è tutto giusto poi che procedimenti fai?
"Bokonon":
[quote="mpg"]
ma poi non so come fare...
Forse $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$ ??
Come "forse"?
Provaci! Raccogli $((n+1)^2)/4$ e vedi cosa succede.[/quote]
Sono all'inizio con l'induzione dico forse perchè non so bene la regola...
POi comqunue come faccio ad arrivare a $ 1/4 (n+1)^2(n+2)^2$ ??
"mpg":
[quote="Bokonon"][quote="mpg"]
ma poi non so come fare...
Forse $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$ ??
Come "forse"?
Provaci! Raccogli $((n+1)^2)/4$ e vedi cosa succede.[/quote]
Sono all'inizio con l'induzione dico forse perchè non so bene la regola...
POi comqunue come faccio ad arrivare a $ 1/4 n^2(n+1)^2(n+2)^2$ ??[/quote]
Caspita son fuso faccio cosi':
$(n+1)^2 (n^2/4 + n+1)$
$(n+1)^2 (n^2+4n+4)/4$
$(n+1)^2 (n+2)^2/4$
"mpg":
Caspita son fuso faccio cosi':
$(n+1)^2 (n^2/4 + n+1)$
$(n+1)^2 (n^2+4n+4)/4$
$(n+1)^2 (n+2)^2/4$
Esatto!
Pero' nel secondo mi viene:
$2n^2(n+1)^2+ 8(n+1)^3$
da qui ad arrivare alla tesi :
$2(n+1)^2(n+2)^2$...
$2n^2(n+1)^2+ 8(n+1)^3$
da qui ad arrivare alla tesi :
$2(n+1)^2(n+2)^2$...
Devi stare più attento agli estremi della sommatoria, hai scritto sia nelle ipotesi che nella tesi $n+1$, che chiaramente non va bene, nell'ipotesi ci vuole $n$. Ti mostro come bisogna procedere nel primo caso augurandomi che a quel punto capisci come funziona il meccanismo e fai da solo il secondo.
Ipotesi: $\sum_{i=1}^ni^3=1/4n^2(n+1)^2$, dobbiamo valutare $\sum_{i=1}^(n+1)i^3=1/4n^2(n+1)^2$, usiamo la definizione della somma per poter scrivere più esplicitamente $\sum_{i=1}^(n+1)i^3=1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso usiamo l'ipotesi (induttiva) per scrivere $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso facciamo dei passaggi puramente algebrici cominciando col raccogliere $1/4(n+1)^2$, si ottiene $1/4(n+1)^2(n^2+(n+1))=1/4(n+1)^2(n^2+4n+4)$. Adesso si riconosce il quadrato del binomio e si scrive $1/4(n+1)^2(n+2)^2$, che è la tesi.
Io ti ho scritto i passaggi a parole per farti capire meglio come si deve ragionare, ma se avessi dovuto scriverli ad esempio in un compito avrei scritto semplicemente quella catena di uguaglianze pensando nella mia quei discorsi.
P.S. Mentre scrivevo questo messaggio ne avete scritti altri 3! Io lo posto comunque sperando che sia utile
Ipotesi: $\sum_{i=1}^ni^3=1/4n^2(n+1)^2$, dobbiamo valutare $\sum_{i=1}^(n+1)i^3=1/4n^2(n+1)^2$, usiamo la definizione della somma per poter scrivere più esplicitamente $\sum_{i=1}^(n+1)i^3=1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso usiamo l'ipotesi (induttiva) per scrivere $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso facciamo dei passaggi puramente algebrici cominciando col raccogliere $1/4(n+1)^2$, si ottiene $1/4(n+1)^2(n^2+(n+1))=1/4(n+1)^2(n^2+4n+4)$. Adesso si riconosce il quadrato del binomio e si scrive $1/4(n+1)^2(n+2)^2$, che è la tesi.
Io ti ho scritto i passaggi a parole per farti capire meglio come si deve ragionare, ma se avessi dovuto scriverli ad esempio in un compito avrei scritto semplicemente quella catena di uguaglianze pensando nella mia quei discorsi.
P.S. Mentre scrivevo questo messaggio ne avete scritti altri 3! Io lo posto comunque sperando che sia utile
Si grazie!
Nell'ultimo mi autorispondo....
$(n+1)^2(2n^2+8n+8)$
$2(n+1)^2(n^2+4n+4)$
$2(n+1)^2(n+2)^2$
Nell'ultimo mi autorispondo....
$(n+1)^2(2n^2+8n+8)$
$2(n+1)^2(n^2+4n+4)$
$2(n+1)^2(n+2)^2$
Hai scritto (e ti correggo un estremo):
Aggiungo che $ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = sum_(i = 1)^(n+1) 8(i)^3=8sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3$
"mpg":
$ sum_(i = 1)^(n) (2i)^3 = 2n^2(n+1)^2 $
la tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Aggiungo che $ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = sum_(i = 1)^(n+1) 8(i)^3=8sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3$
Ok, è finita.
Il consiglio di otta96 è prezioso...scrivi sempre bene e chiaramente le ipotesi e le tesi.
Io aggiungo che devi essere un po' più sicuro di te stesso.
Il consiglio di otta96 è prezioso...scrivi sempre bene e chiaramente le ipotesi e le tesi.
Io aggiungo che devi essere un po' più sicuro di te stesso.
Visto che stiamo parlando di questa cosa volevo farvi osservare una cosa curiosa: $\sum_{i=1}^ni^3=(\sum_{i=1}^ni)^2$.
"Bokonon":
Hai scritto (e ti correggo un estremo):
[quote="mpg"]
$ sum_(i = 1)^(n) (2i)^3 = 2n^2(n+1)^2 $
la tesi
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = 2(n+1)^2(n+2)^2 $
Aggiungo che $ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = sum_(i = 1)^(n+1) 8(i)^3=8sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3$[/quote]
Scusami non ho capito la correzzione (oltre all'aggiunta che hai fatto).
"otta96":
Visto che stiamo parlando di questa cosa volevo farvi osservare una cosa curiosa: $\sum_{i=1}^ni^3=(\sum_{i=1}^ni)^2$.
Ci stavo pensando anch'io se scriverlo o no...magari potrebbe provarlo?!?
Che ne dici @mpg?
"mpg":
Scusami non ho capito la correzzione (oltre all'aggiunta che hai fatto).
In un tuo post precedente hai scritto entrambe le ipotesi usando la sommatoria fino a (n+1).
Sicuramente un errore da "copia e incolla"
Inoltre volevo solo farti notare che la seconda sommatoria non è altro che la prima molpitplicata per 8...e visto che avevi già risolto la prima potevi direttamente affermare che:
$ sum_(i = 1)^(n+1) (2i)^3 = sum_(i = 1)^(n+1) 8(i)^3=8sum_(i = 1)^(n+1) (i)^3=(8/4)*(n+1)^2(n+2)^2=2(n+1)^2(n+2)^2$
"otta96":
Devi stare più attento agli estremi della sommatoria, hai scritto sia nelle ipotesi che nella tesi $n+1$, che chiaramente non va bene, nell'ipotesi ci vuole $n$. Ti mostro come bisogna procedere nel primo caso augurandomi che a quel punto capisci come funziona il meccanismo e fai da solo il secondo.
Ipotesi: $\sum_{i=1}^ni^3=1/4n^2(n+1)^2$, dobbiamo valutare $\sum_{i=1}^(n+1)i^3=1/4n^2(n+1)^2$, usiamo la definizione della somma per poter scrivere più esplicitamente $\sum_{i=1}^ni^3=1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso usiamo l'ipotesi (induttiva) per scrivere $1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$, adesso facciamo dei passaggi puramente algebrici cominciando col raccogliere $1/4(n+1)^2$, si ottiene $1/4(n+1)^2(n^2+(n+1))=1/4(n+1)^2(n^2+4n+4)$. Adesso si riconosce il quadrato del binomio e si scrive $1/4(n+1)^2(n+2)^2$, che è la tesi.
Io ti ho scritto i passaggi a parole per farti capire meglio come si deve ragionare, ma se avessi dovuto scriverli ad esempio in un compito avrei scritto semplicemente quella catena di uguaglianze pensando nella mia quei discorsi.
P.S. Mentre scrivevo questo messaggio ne avete scritti altri 3! Io lo posto comunque sperando che sia utile
Scusa nella definizione della somma hai scritto
$\sum_{i=1}^ni^3=1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3$,
non è n+1 in alto e non n essendo sempre la tesi?
La prof scrive cosi':
$ sum_(i = 1)^(n+1) i^3 = \sum_{i=1}^ni^3+(n+1)^3$
Si hai ragione, errore di battitura, ora correggo.
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