Esercizi con integrali indefiniti
Salve ragazzi! Ho un problemino, non riesco a capire l'integrazione per sostituzione 
so che devo porre x = g(t), ovvero fare un cambio di variabile, ma poi non riesco a capire cosa c'entri il differenziale e come calcolarlo, ad esempio in $int xcosx^2dx$. Potreste aiutarmi per favore?
so che devo porre x = g(t), ovvero fare un cambio di variabile, ma poi non riesco a capire cosa c'entri il differenziale e come calcolarlo, ad esempio in $int xcosx^2dx$. Potreste aiutarmi per favore?
Risposte
$intxcos^2xdx=intx(1+cos2x)/2dx=1/2(intxdx+intxcos2xdx)$
Il primo integrale si calcola subito; nel secondo prendi il coseno come fattore differenziale.
Il primo integrale si calcola subito; nel secondo prendi il coseno come fattore differenziale.
ok grazie, ma così non lo risolvo per parti?
Comunque il problema reale è con questo: $int (sqrt(1+4x^2)+2x)dx = int sqrt(1+4x^2)dx + 2intxdx = int sqrt(1+4x^2)dx + x^2 +c$.
Vado per sostituzione, pongo $x=1/2 sint$ in $[-pi/2, pi/2]$, quindi $t=arcsin2x$ e $dx=1/2cost dt$.
Tornando all'integrale, diventa:
$int sqrt(1+4*1/4 sin^2t)1/4 cost dt + x^2 +c = 1/4 int sqrt(1+sin^2t)costdt + x^2 +c = 1/4 int cos^2tdt + x^2 + c$.
Adesso uso le formule di bisezione, con alfa = 2t, e diventa: $[cos(alpha/2)]^2=[+-sqrt((1+cosalpha)/2)]^2$, quindi l'integrale diventa: $1/4 int (1+cos2t)/2dt + x^2+c = t^2/16+1/8 int cos2tdt + x^2 +c = t^2/16+sin2t/16+x^2+c$
$ = t^2/16+(sintcost)/8 + x^2 +c = (arcsin^2 (2x))/16+(xsqrt1-4x^2)/8 + x^2 + c$, che è sbagliato dov'è l'errore??
Comunque il problema reale è con questo: $int (sqrt(1+4x^2)+2x)dx = int sqrt(1+4x^2)dx + 2intxdx = int sqrt(1+4x^2)dx + x^2 +c$.
Vado per sostituzione, pongo $x=1/2 sint$ in $[-pi/2, pi/2]$, quindi $t=arcsin2x$ e $dx=1/2cost dt$.
Tornando all'integrale, diventa:
$int sqrt(1+4*1/4 sin^2t)1/4 cost dt + x^2 +c = 1/4 int sqrt(1+sin^2t)costdt + x^2 +c = 1/4 int cos^2tdt + x^2 + c$.
Adesso uso le formule di bisezione, con alfa = 2t, e diventa: $[cos(alpha/2)]^2=[+-sqrt((1+cosalpha)/2)]^2$, quindi l'integrale diventa: $1/4 int (1+cos2t)/2dt + x^2+c = t^2/16+1/8 int cos2tdt + x^2 +c = t^2/16+sin2t/16+x^2+c$
$ = t^2/16+(sintcost)/8 + x^2 +c = (arcsin^2 (2x))/16+(xsqrt1-4x^2)/8 + x^2 + c$, che è sbagliato
dov'è l'errore??
L'errore è che
$sqrt(1+sin^2t)!=cost$
La sostituzione da fare è $x=1/2tg t$, ricordando poi che $1+tg^2t=1/(cos^2t)$
Per l'altro esercizio sì, lo risolvi per parti; mi sembra impossibile risolverlo per sostituzione.
$sqrt(1+sin^2t)!=cost$
La sostituzione da fare è $x=1/2tg t$, ricordando poi che $1+tg^2t=1/(cos^2t)$
Per l'altro esercizio sì, lo risolvi per parti; mi sembra impossibile risolverlo per sostituzione.
Mannaggia, giusto! non me ne ero proprio accorto.
E qui come posso fare? $int sec^2 (2x+pi/4)dx$
E qui come posso fare? $int sec^2 (2x+pi/4)dx$
Dicendoti che si può fare a mente e che il risultato è $1/2tg(2x+pi/4)+c$, si accende qualche lampadina?
Ah sì giusto, è la derivata della tangete, grazie:)
Adesso ho un problemino col completamento del quadrato di questo polinomio, so che è una stupidaggine ma sono proprio fuso! $4x^2-4x+5 = 4x^2 +1-1-4x+5 = (2x-1)^2+5+1$, so che c'è un problema con i +-1, ma non riesco a uscirne!
Adesso ho un problemino col completamento del quadrato di questo polinomio, so che è una stupidaggine ma sono proprio fuso! $4x^2-4x+5 = 4x^2 +1-1-4x+5 = (2x-1)^2+5+1$, so che c'è un problema con i +-1, ma non riesco a uscirne!
All'incirca; il calcolo giusto è
$4x^2-4x+5=4x^2-4x+1-1+5=(2x-1)^2+4$
$4x^2-4x+5=4x^2-4x+1-1+5=(2x-1)^2+4$
Madonna è vero, che stupido! 
Grazieee
Grazieee
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