Esercizi con integrali! (233497)

[violetta96]

Potreste risolvere il n 362 e 365? Non mi vengono >.<
grazie in anticipo

[mc2]

n.362

[math]d s=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dy}{dx})^2}=
dx\sqrt{1+\frac{9}{4}x} \\ \\
L=\int_0^1dx\sqrt{1+\frac{9}{4}x}=\\
=\left[\frac{2}{3}\frac{4}{9}\left(1+\frac{9}{4}x\right)^{3/2}\right]^1_0=\\
\frac{8}{27}\left(\frac{13\sqrt{13}}{8}-1\right)
[/math]

Aggiunto 3 ore 10 minuti più tardi:

n. 365

[math]ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=dx\sqrt{1+(\frac{dx}{dy})^2}=dx\sqrt{1+4x^2}\\
L=\int_0^2dx\sqrt{1+4x^2}
[/math]

Questo integrale si puo` calcolare in modi diversi: se hai studiato le funzioni iperboliche puoi fare la sostituzione 2x=sinh(u)

Altrimenti lo tratti come un differenziale binomio e usi la sostituzione

[math]t^2=4+\frac{1}{x^2}[/math]

, cioe`

[math]x=\frac{1}{\sqrt{t^2-4}}[/math]

da cui

[math]dx=-\frac{t~dt}{(t^2-4)^{3/2}}[/math]

inoltre

[math]1+4x^2=\frac{t^2}{t^2-4}
[/math]

gli estremi di integrazione diventano:

[math]x=0~~\Longrightarrow~~ t\to \infty\\
x=2~~\Longrightarrow~~ t=\frac{\sqrt{17}}{2}
[/math]

Quindi (scambio tra loro i limiti di integrazione, cosi` compenso il cambio segno del differenziale)

[math]L=\int_{\sqrt{17}/{2}}^\infty\frac{t^2~dt}{(t^2-4)^2}[/math]

Ora hai l'integrale di una funzione razionale che si puo` calcolare (con molta pazienza) e si ottiene il risultato dato.

Aggiunto 9 minuti più tardi:

Per esempio si puo` calcolare per parti:

[math]
L=\int\limits_{\sqrt{17}/2}^\infty t~d\left[-\frac{1}{2}\frac{1}{t^2-4}\right]=\\
=\left[-\frac{t}{2}\frac{1}{t^2-4}\right]_{\sqrt{17}/2}^\infty+
\frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt{17}/2}^\infty\frac{dt}{t^2-4}=\\
=\sqrt{17}+\frac{1}{2}\int\limits_{\sqrt{17}/2}^\infty
\frac{1}{4}\left(\frac{1}{t-2}-\frac{1}{t+2}\right)dt=\\
=\sqrt{17}+\frac{1}{8}\left[\log\frac{t-2}{t+2}\right]_{\sqrt{17}/2}^\infty=\\
=\sqrt{17}-\frac{1}{8}\log\frac{\frac{\sqrt{17}}{2}-2}{\frac{\sqrt{17}}{2}+2}=\\
\sqrt{17}+\frac{1}{4}\log(4+\sqrt{17})
[/math]