Esame di stato (anno scorso)

[angus89]

Si considerino i triangoli la cui base $AB=1$ e il cui vertice C varia in modo che l'angolo in CAB (l'angolo in A) si mantenga doppio dell'angolo ABC (angolo in B)

Riferito il piano ad un conveniente sistema di coordinate, si determini l'equazione del luogo geometrico descritto da C
link diretto per il pdf

Ecco il mio goffo tentativo (credo comunque che al limite vada bene concettualmente)


Poniamo il vertice A nell'origine, a questo punto osserviano che per trovare C è sufficiente conoscere l'angolo alfa e la coordinata x, la y si determina da queste ultime

Osserviamo che y è l'altezza del triangolo




Riperiamo i medesimi ragionamenti per l'altra parte del triangolo (osservando che AB=1)



Benissimo a questo punto mettiamo a sistema





E bè risolvere quest'ultima equzione mi sembra difficile, nel senso che l'obbiettivo è esplicitare l'angolo in funzione di x ma il che mi sembra difficile, spero che il ragionamento sia giusto e utile

[e3353cdc139f9576d1418ef5ef3cff2aac614a86]

Ciao

Innanzitutto osserva che è l'angolo in A ad essere doppio di quello in B, non il contrario.

Ora diciamo che $C=(x,y)$ e chiamiamo $alpha_{xy}$ l'angolo in B. Allora l'angolo in A è $2 alpha_{xy}$. Tutto ciò che bisogna fare è trovare una relazione che leghi $x$ e $y$. Noi sappiamo che:

$AC * cos(2 alpha_{xy}) = x$
$AC * sen(2 alpha_{xy}) = y$
$CB * cos(alpha_{xy}) = 1-x$
$CB * sen(alpha_{xy}) = y$

Ne segue allora che (ricordando le formule di duplicazione)

$1/(CB^2)((1-x)^2-y^2) = cos(2 alpha_{xy}) = x/(AC) = x/y sen(2 alpha_{xy}) = x/y 2/(CB^2) y(1-x)$,

dove il primo uguale segue dalle ultime due proprietà, il secondo dalla prima, il terzo dalla seconda e il quarto dalle ultime due.

Siccome il $1/(CB^2)$ si semplifica, otteniamo qualcosa di simpatico

[fu^2]

io avrei fatto in questo modo (semplice):
sai che
$CH=AHtgalpha
$CH=HBtg(2alpha)=HB(2tgalpha)/(1-tg^2alpha)$

otteniamo quindi $AHtgalpha-HB(2tgalpha)/(1-tg^2alpha)=0$

cioè ricordando che $tgalpha=(CH)/(AH)$

$CH-2HB((CH)/(AH))/(1-((CH)/(AH))^2)=0=>CH-2HB(CH*AH)/(AH^2-CH^2)=0$ notare che se $AH=CH=>alpha=45°$ che sarebbe assurdo

$CH*AH^2-CH^3-2CH*HB*AH=0$ anche CH>0 per le condizioni date sul problema, quindi

$AH^2-CH^2-2HB*HA=0=>AH(AH-2HB)=CH^2$ posto $AH=x=>HB=1-x$

ottengo l'equazione: $x(x-2(1-x))=y^2=>-y^2+3x^2-2x=0

il luogo dei punti ottenuto è $y^2-3x^2+2x=0$ che è una bella iperbole.

EDIT: volendo possiamo traslare tutto nell'origine, infatti notiamo che l'equazione taglia l'asse delle ascisse in $0$ e $2/3$, quindi ponendo $x'=x-2/6$ abbiamo traslato tutto nell'origine; in questo modo l'equazione risulta:

$y^2-3(x+2/6)^2+2(x+2/6)=0$ che a conti fatti otteniamo $9x^2-3y^2=2$ che è un'iperbole con asintoti le rette $y=+-xsqrt3$


EDIT: mi son accorto che ho invertito i nomi agli angoli poco male, il risultato non cambia comunque, inoltre con H ho indicato la proiezione di C sul segmento AB... l'ora tarda ieri mi ha fatto saltare un pò di passaggi...

[fu^2]

@angus: il tuo ragionamento è giusto, non mi pare scorretto, solo che porta in un vicolo cieco, cioè ti vengono fuori calcoli un pò laboriosi... però come ragionamento non è scorretto

[angus89]

"fu^2":@angus: il tuo ragionamento è giusto, non mi pare scorretto, solo che porta in un vicolo cieco, cioè ti vengono fuori calcoli un pò laboriosi... però come ragionamento non è scorretto

detto papale papale è improducente...non sò dopo quante pagine di sostituzioni e garionamenti si arrivava alla soluzione...
la soluzione di martino..appena letta...credo vada bene...ora leggo la tua...

[kekko989]

io ho ragionato così,che forse era il procedimento più veloce. Da C ho condotto una retta alla base AB in maniera tale che il triangolo $CAH$ fosse isoscele sulla base AH. (dove H è l'intersezione tra la retta condotta e la base). Quindi l'angolo $AHC=2a$. Ora, $AK=x$ dove K è la perpendicolare alla base condotta da c. e quindi $HB=1-2x$. Considerando il triangolo $BCH$, per il teorema della bisettrice dell'angolo esterno che è uguale alla somma dei due interni non adiacenti, anche questo triangolo sarà isoscele sulla base BC. Da cui $CH=1-2x$. Da qui,con pitagora mi trovo l'altezza del punto C.