ERRATA CORRIGE carattere di una successione
Ciao a tutti!!
In un messaggio precedente avevo un dubbio sul carattere di questa successione
$ (-1)^n\sqrt(n^3-2n) .$
Distinguendo $n$ pari e $n$ dispari, si trova che i limiti sono $+\infty$ e $-\infty$ rispettivamente.
Quindi avevo concluso che la successione è irregolare poiché i due limiti sono diversi(ho avuto conferma di ciò anche da altri).
MA secondo una definizione che non compare su tutti i testi scolastici questa successione DIVERGE A $\infty$.
Vi riporto di seguito quanto leggo sul testo(dovesse mai servire a qualcuno!!!!)
"Consideriamo la successione $ (-1)^n \cdot n $ i cui termini sono
$0, -1, +2, -3, +4,....$
Dall'osservazione dei suoi termini non possiamo certo dire che questa successione converge, ma non possiamo nemmeno dire che essa diverge a $+\infty$ o a $-\infty$; tutt'al più possiamo dire che i suoi termini tendono a diventare molto grandi in valore assoluto. Diamo allora la seguente definizione:
Si dice che la successione $a_n$ diverge a $\infty$ se per ogni $k>0$ esiste un indice $ nu $ dipendente da $k$ tale che $ |a_n|>k $ per ogni $n>nu.$ "
Quindi io concludo che diverge a $\infty$. Siete d'accordo?!?
In un messaggio precedente avevo un dubbio sul carattere di questa successione
$ (-1)^n\sqrt(n^3-2n) .$
Distinguendo $n$ pari e $n$ dispari, si trova che i limiti sono $+\infty$ e $-\infty$ rispettivamente.
Quindi avevo concluso che la successione è irregolare poiché i due limiti sono diversi(ho avuto conferma di ciò anche da altri).
MA secondo una definizione che non compare su tutti i testi scolastici questa successione DIVERGE A $\infty$.
Vi riporto di seguito quanto leggo sul testo(dovesse mai servire a qualcuno!!!!)
"Consideriamo la successione $ (-1)^n \cdot n $ i cui termini sono
$0, -1, +2, -3, +4,....$
Dall'osservazione dei suoi termini non possiamo certo dire che questa successione converge, ma non possiamo nemmeno dire che essa diverge a $+\infty$ o a $-\infty$; tutt'al più possiamo dire che i suoi termini tendono a diventare molto grandi in valore assoluto. Diamo allora la seguente definizione:
Si dice che la successione $a_n$ diverge a $\infty$ se per ogni $k>0$ esiste un indice $ nu $ dipendente da $k$ tale che $ |a_n|>k $ per ogni $n>nu.$ "
Quindi io concludo che diverge a $\infty$. Siete d'accordo?!?
Risposte
Sì, è corretto.
Il discorso è piuttosto lungo, ma cercherò di esporlo in breve.
Per poter lavorare con gli infiniti è necessario estendere l'insieme dei reali aggiungendogli qualcosa che rappresenti l'infinito. Ci sono due possibilità:
1) ad $RR$ aggiungiamo il valore più piccolo di tutti $-oo$ e quello più grande di tutti $+oo$, in questo modo si salvaguarda l'ordine, ma purtroppo si deve accettare che non esistano limiti tipo $lim_(x->0) 1/x$ perché il limite destro e quello sinistro danno risultati diversi;
2) ad $RR$ aggiungiamo un unico valore $oo$ che corrisponde sia al valore più piccolo di tutti che a quello più grande di tutti, in questo modo si perde l'ordine perché il termine massimo e quello minimo coincidono, ma limiti tipo $lim_(x->0) 1/x$ esistono perché il loro risultato è unico $oo$.
Io preferisco la prima possibilità, in tal caso la soluzione all'esercizio proposto è che la successione è irregolare.
Se avessi accettato la seconda possibilità, siccome non c'è la differenza tra i segni degli infiniti la risposta sarebbe stata che la successione che diverge a $oo$.
Per poter lavorare con gli infiniti è necessario estendere l'insieme dei reali aggiungendogli qualcosa che rappresenti l'infinito. Ci sono due possibilità:
1) ad $RR$ aggiungiamo il valore più piccolo di tutti $-oo$ e quello più grande di tutti $+oo$, in questo modo si salvaguarda l'ordine, ma purtroppo si deve accettare che non esistano limiti tipo $lim_(x->0) 1/x$ perché il limite destro e quello sinistro danno risultati diversi;
2) ad $RR$ aggiungiamo un unico valore $oo$ che corrisponde sia al valore più piccolo di tutti che a quello più grande di tutti, in questo modo si perde l'ordine perché il termine massimo e quello minimo coincidono, ma limiti tipo $lim_(x->0) 1/x$ esistono perché il loro risultato è unico $oo$.
Io preferisco la prima possibilità, in tal caso la soluzione all'esercizio proposto è che la successione è irregolare.
Se avessi accettato la seconda possibilità, siccome non c'è la differenza tra i segni degli infiniti la risposta sarebbe stata che la successione che diverge a $oo$.
Quindi sarebbe improprio dire che diverge a $ oo $ se consideriamo $ tilde(RR) $ come l'insieme $ RRuu{+oo,-oo} $ e la successione definita su di esso? Io avrei risposto sì senza fare differenze, è sbagliato o è un "abuso di definizione"?
E si, il discorso è molto rigoroso!
Il fatto è che sto aiutando dei ragazzi che frequentano il quinto liceo e il loro libro utilizza la definizione che ho citato. Per non confondere loro le idee (che sono già abbastanza confuse
) ho rispettato la definizione del libro. Volevo solo precisare la questione in modo che chiunque si trovi davanti a questo bivio, sappia che strada prendere!!!!!!!!!!!!!!!!! Grazie @melia
Il fatto è che sto aiutando dei ragazzi che frequentano il quinto liceo e il loro libro utilizza la definizione che ho citato. Per non confondere loro le idee (che sono già abbastanza confuse
) ho rispettato la definizione del libro. Volevo solo precisare la questione in modo che chiunque si trovi davanti a questo bivio, sappia che strada prendere!!!!!!!!!!!!!!!!! Grazie @melia
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