Equazioni trigonometriche
C'è un modo per riunire le soluzioni di sin x = + - 1/2 ?
So già che per esteso sono 4 e non c'è bisogno che le scrivo, ma posso scriverle in un'unica formula risolutiva?
So già che per esteso sono 4 e non c'è bisogno che le scrivo, ma posso scriverle in un'unica formula risolutiva?
Risposte
La cosa più breve che puoi scrivere è:
x=+- P/6 u x=+- 5/6 P
Ciao, Chegue!
x=+- P/6 u x=+- 5/6 P
Ciao, Chegue!
Ma no!!! Non intendo le soluzioni con 0 < @ < 2*pi (@=alfa), intendo anche quelle estese al di fuori di questo intervallo, cioè con la periodicità! Ad esempio, riprendiamo sin x = + - 1/2.
Le soluzioni di sin x = 1/2 sono:
x = pi/6 + 2*k*pi
x = 5/6*p + 2*k*pi
entrambi con k che appartiene all'insieme Z dei numeri relativi.
Le due soluzioni si possono riunire in un'unica formula, cioè x = pi/6*((-1)^k) + k*pi.
Ora prendiamo sin x = -1/2:
x = 7/6*pi + 2*k*pi
x = 11/6*pi + 2*k*pi (oppure al posto di 11/6*pi -pi/6, è lo stesso)
Riuniamo queste soluzioni in x = 7/6pi*((-1)^k) + k*pi.
La mia domanda è: esiste un modo per
riunire queste due soluzioni in una sola?
Le soluzioni di sin x = 1/2 sono:
x = pi/6 + 2*k*pi
x = 5/6*p + 2*k*pi
entrambi con k che appartiene all'insieme Z dei numeri relativi.
Le due soluzioni si possono riunire in un'unica formula, cioè x = pi/6*((-1)^k) + k*pi.
Ora prendiamo sin x = -1/2:
x = 7/6*pi + 2*k*pi
x = 11/6*pi + 2*k*pi (oppure al posto di 11/6*pi -pi/6, è lo stesso)
Riuniamo queste soluzioni in x = 7/6pi*((-1)^k) + k*pi.
La mia domanda è: esiste un modo per
riunire queste due soluzioni in una sola?
Si, ce l'ho fatta! Ricapitolando, fornisco un "formulario" per le equazioni trigo.
Ecco la formula per le equazioni in seno di secondo grado:
sin x = + - n --> x = +- alfa + k*pi
che vale anche per il coseno di secondo grado:
cos x = + - n --> x = +- alfa + k*pi
Quando l'equazione è in coseno di primo grado, si può scrivere
x = +- alfa + 2*k*pi
Quando è in seno di primo grado, si scrive
x = alfa((-1)^k) + k*pi
Aggiungo poi un tipo particolare di equazione:
sin x cos x = 0 --> x = k*(pi/2) con i radianti, oppure x = k*90° con i gradi;
questa formula vale sempre quando ci si trova di fronte a questo particolare tipo di equazione.
Per la tangente e la cotangente non mi sembra ci siano finora formule particolari, essendo il periodo sempre di k*pi.
Spero che questo piccolo formulario sia di aiuto come punto di riferimento non solo a me, ma anche a tutti coloro che leggeranno questo post.
ciao a tutti
fireball
Ecco la formula per le equazioni in seno di secondo grado:
che vale anche per il coseno di secondo grado:
Quando l'equazione è in coseno di primo grado, si può scrivere
Quando è in seno di primo grado, si scrive
Aggiungo poi un tipo particolare di equazione:
questa formula vale sempre quando ci si trova di fronte a questo particolare tipo di equazione.
Per la tangente e la cotangente non mi sembra ci siano finora formule particolari, essendo il periodo sempre di k*pi.
Spero che questo piccolo formulario sia di aiuto come punto di riferimento non solo a me, ma anche a tutti coloro che leggeranno questo post.
ciao a tutti
fireball
Dimenticavo un dovuto riconoscimento a Tony, che mi ha dato un aiuto davvero consistente nella determinazione della formula risolutiva dell'equazione in seno di secondo grado...
Alla mia domanda "quali sono le soluzioni di sin x = +- 1/2 in un'unica formula risolutiva?" ha risposto con tanto di esauriente spiegazione e dimostrazione:
"come risposta proporrei x = arcsin(1/2) + k*Pi
cioè, alla fin fine, x = 0.5*Pi +- Pi/3 + k*Pi,
o, in gradi, x = 90 +-60 + k*180...
ma, a questo punto, visto che siamo passati
dal + k*360 al + k*180, si potrebbe semplificare in:
x = +-30 + k*180"
ciao Tony e grazie!!!
Ringrazio anche Camillo per la spiegazione della formula per le equazioni di primo grado in seno; qui si parla di sin x = 1/2... riporto lo stralcio:
"sen x = 1/2
Le soluzioni sono :
x= 2*k*pi+pi/6 ed anche :
x= 2*k*pi + 5/6*pi
con k numero intero positivo, negativo o nullo.
Infatti pi/6 e 5/6*pi sono angoli supplementari ed hanno lo stesso valore del seno.
Le soluzioni sono quindi :
pi/6, pi/6 +2*pi, pi/6 -2*pi, etc ed anche :
5/6*pi, 5/6*pi +2*pi, 5/6*pi -2*pi etc
Fin qui niente di nuovo .
C'e' un modo per riunire le 2 formule in un'unica formula risolutiva ( nulla piu' di questo) :
x = h*pi +((-1)^ h)*pi/6 dove h e' un intero positivo, negativo oppure nullo.
L'espressione (-1)^h funziona un po' come uno "switch " nel senso che se h e' pari
vale : +1 e quindi da' soluzioni del tipo : h*pi +pi/6 che, essendo h pari puoi scrivere come :
2*k*pi+ pi/6 (2*k e' senz'altro un numero pari ) ed e' la prima formula.
Se invece h e' dispari allora ( -1 )^h vale : -1 e quindi , ricordando che puoi scrivere
al posto di h , 2*k+1( che e' senz'altro un numero dispari ) ottieni soluzioni del tipo : (2*k+1)*pi -pi/6 = 2*k*pi +pi -pi/6 =
2*k*pi +5/6*pi ( vedi sopra seconda formula ).
Ecco dimostrato che questa formula riunisce in un' unica formula le 2 formule.
Se non sei convinto mettiamo al posto di h alcuni valori interi positivi , negativi e il valore nullo e si ottiene :
h=0 ; x= pi/6
h=1 ; x= pi-pi/6 = 5/6*pi
h=2 ; x = 2*pi+pi/6
h=3 ; x= 3*pi-pi/6 = 2*pi+5/6*pi etc. etc .
h = -1 ; x= -pi-pi/6 = -7/6*pi = 5/6*pi-2*pi
h= -2 ; x= -2*pi+pi/6 = pi/6 -2*pi
etc. etc."
ciao Camillo e grazie!!!!
fireball
Modificato da - fireball il 24/05/2003 16:39:57
Alla mia domanda "quali sono le soluzioni di sin x = +- 1/2 in un'unica formula risolutiva?" ha risposto con tanto di esauriente spiegazione e dimostrazione:
"come risposta proporrei x = arcsin(1/2) + k*Pi
cioè, alla fin fine, x = 0.5*Pi +- Pi/3 + k*Pi,
o, in gradi, x = 90 +-60 + k*180...
ma, a questo punto, visto che siamo passati
dal + k*360 al + k*180, si potrebbe semplificare in:
x = +-30 + k*180"
ciao Tony e grazie!!!
Ringrazio anche Camillo per la spiegazione della formula per le equazioni di primo grado in seno; qui si parla di sin x = 1/2... riporto lo stralcio:
"sen x = 1/2
Le soluzioni sono :
x= 2*k*pi+pi/6 ed anche :
x= 2*k*pi + 5/6*pi
con k numero intero positivo, negativo o nullo.
Infatti pi/6 e 5/6*pi sono angoli supplementari ed hanno lo stesso valore del seno.
Le soluzioni sono quindi :
pi/6, pi/6 +2*pi, pi/6 -2*pi, etc ed anche :
5/6*pi, 5/6*pi +2*pi, 5/6*pi -2*pi etc
Fin qui niente di nuovo .
C'e' un modo per riunire le 2 formule in un'unica formula risolutiva ( nulla piu' di questo) :
x = h*pi +((-1)^ h)*pi/6 dove h e' un intero positivo, negativo oppure nullo.
L'espressione (-1)^h funziona un po' come uno "switch " nel senso che se h e' pari
vale : +1 e quindi da' soluzioni del tipo : h*pi +pi/6 che, essendo h pari puoi scrivere come :
2*k*pi+ pi/6 (2*k e' senz'altro un numero pari ) ed e' la prima formula.
Se invece h e' dispari allora ( -1 )^h vale : -1 e quindi , ricordando che puoi scrivere
al posto di h , 2*k+1( che e' senz'altro un numero dispari ) ottieni soluzioni del tipo : (2*k+1)*pi -pi/6 = 2*k*pi +pi -pi/6 =
2*k*pi +5/6*pi ( vedi sopra seconda formula ).
Ecco dimostrato che questa formula riunisce in un' unica formula le 2 formule.
Se non sei convinto mettiamo al posto di h alcuni valori interi positivi , negativi e il valore nullo e si ottiene :
h=0 ; x= pi/6
h=1 ; x= pi-pi/6 = 5/6*pi
h=2 ; x = 2*pi+pi/6
h=3 ; x= 3*pi-pi/6 = 2*pi+5/6*pi etc. etc .
h = -1 ; x= -pi-pi/6 = -7/6*pi = 5/6*pi-2*pi
h= -2 ; x= -2*pi+pi/6 = pi/6 -2*pi
etc. etc."
ciao Camillo e grazie!!!!
fireball
Modificato da - fireball il 24/05/2003 16:39:57
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