Equazioni sistemi simmetrici

[Bad90]

Sto risolvendo le equazioni simmetriche di secondo grado, non sto trovando problemi, sono molto semplici, a dire il vero mi sono divertito anche a risolvere i sistemi di tre equazioni ...
Risolvendo i sistemi simmetrici del tipo:

$ { ( x+y=11 ),( xy=28 ):} $

Utilizzando la formula risolutiva:

$ t^2-st+p=0 $

Date le soluzioni ricavate con la seguente:

$ t=(-b+-Delta)/(2a) $

Mi chiedevo, posso chiamarle $ t_1;t_2 $ Oppure si conviene chiamarle $ x_1;x_2 $

Questo dubbio mi sorge, perchè devo poi risolvere le due equazioni per sostituzione:

$ { ( x+y=11 ),( xy=28 ):} $

Quindi penso conviene chiamarle $ x_1;x_2 $, giusto?

Ho notato che una volta trovato le $ x_1;x_2 $, i risultati si alternano per $ y_1;y_2 $, voi dite che senza a fare altri calcoli, basta ricavare $ x_1;x_2 $ e si potrà dire in automatico che $ y_1;y_2 $, sono sostanzialmente le stesse, es. se $ x_1= 4;x_2=7 $ posso dire subito senza verificare nulla che $ y_1=7;y_2=4 $, giusto Oppure si deve verificare sempre?

Ciao amici!

[giammaria2]

"Bad90": voi dite che senza a fare altri calcoli, basta ricavare $ x_1;x_2 $ e si potrà dire in automatico che $ y_1;y_2 $, sono sostanzialmente le stesse

Sì: se $x,y$ sono scambiabili fra loro all'inizio lo saranno anche alla fine. Anzi il mio professore ce lo aveva spiegato dicendo che le due soluzioni sono una $x$ e l'altra $y$, in qualsiasi ordine, e per questo le chiamava $t_1, t_2$; non è sbagliato neanche chiamarle $x_1, x_2$ ma l'altro modo è più ragionevole perché sono soluzioni di un'equazione nell'incognita $t$.

[Bad90]

Perfetto, ti ringrazio!

[Bad90]

Ho risolto il seguente sistema simmetrico:

$ { ( (x+y)^2-x^2=y^2+4 ),( 1/2xy=-40 ):} $

Bene, sono arrivato alla seguente conclusione:

$ { ( x^2+2xy+y^2-x^2=y^2+4 ),( xy=-40/2 ):} $

$ { ( 2xy=4 ),( xy=-20 ):} $

$ { ( xy=2 ),( xy=-20 ):} $

Il testo mi dice che è impossibile....
Perchè è impossibile? Sarà perchè non si ha la somma $ x+y=z $

[@melia]

È impossibile perché se il prodotto vale 2, non può valere anche -20.

[Bad90]

Ok! Ti ringrazio per la conferma!
Una domanda, ma la formula di Waring, si usa parecchio?
Non la trovo difficile ricordarla, $ x^2+y^2=(x+y)^2-2xy $ solo che mi chiedevo da dove e scaturita questa formula? Spiego meglio la domanda, sempre perchè sono la tipica persona che non si sofferma ad imparare la solita formula senza seguire un ragionamento...., insomma come è nata la formula? Ho cercato un po qua e la per trovare qualche spiegazione, ma non ho trovato nulla di molto chiaro!
Ovviamente lo stesso dicasi per la seguente "di terzo grado", $ x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y) $

[Bad90]

Mi sono impallato con questa:

$ { ( x^2+y^2=29 ),( xy+10=0 ):} $

Ho provato a fare così:

$ { ( (x+y)^2-2xy=29 ),( xy=-10 ):} $

$ { ( (x+y)^2-2*(-10)=29 ),( xy=-10 ):} $

$ { ( (x+y)^2+20=29 ),( xy=-10 ):} $

$ { ( (x+y)^2=29-20 ),( xy=-10 ):} $

$ { ( (x+y)^2=9 ),( xy=-10 ):} $

$ { ( (x+y)=+-3 ),( xy=-10 ):} $

$ t^2+-3t-10=0 $

$ Delta=7^2 $

$ t=(+-3+-7)/2=>t_1=+-5;t_2=+-2 $

Dite che ho fatto tutto bene?

[@melia]

Le formule di Waring si ricavano semplicemente dalle formule del quadrato e del cubo di un binomio.
L'esercizio è svolto correttamente, anche se io avrei separato le due equazioni
$t^2+3t-10=0$ e $t^2-3t-10=0$
per non avere a che fare con un doppio $+-$

[Bad90]

Ma il mio dubbio e che se il quadrato di un binomio è:
$ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $
Mentre la formula di Warning è:
$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $
Mi aiuti a capire se è la stessa cosa?
Cerco di spiegare i miei dubbi...
$ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $ ma se io prendo il quadrato di binomio, $ (a+b)^2=a^2+2ab+b^2 $ come può essere la stessa cosa di $ a^2+b^2=(a+b)^2-2ab $

Provo a dire quello che ho compreso io.. Si può dire che derivano dal cubo o dal quadrato di un binomio, vedendo questa:

$ (a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3 $

Dove portando a fattor comune, quello che è possibile, si ha:

$ a^3+b^3=(a+b)^3-3ab(a+b)$

Solo che non sto capendo cosa centra quel meno in $ -3ab $

[giammaria2]

Proviamo ad impostarla così:

per il quadrato: $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$. Portando a primo membro il doppio prodotto ottieni $(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$ che, leggendo per primo il secondo membro, è la formula;

per il cubo: $(a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3$ che riscrivo come $(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b)$. Portando a primo membro l'ultimo addendo hai $(a+b)^3-3ab(a+b)=a^3+b^3$ che è la formula, anche ora al contrario.

[Bad90]

Adesso ho capito
Ti ringrazio
Era l'ultimo dubbio di quell'argomento, adesso sto per iniziare a studiare le disequazioni razionali intere di secondo grado!