Equazioni retta e piano 3d

[sonda90]

potreste descrivermi in breve una semplice e chiara dimostrazione dell'equazione di una retta e un piano in uno spazio tridimensionale?
grazie in anticipo

[desko]

Cosa studi?
Ovvero che indirizzo scolastico o che corso di laurea?
Perché la risposta va tarata in base a questo.

[sonda90]

4^ scientifico, sperimentale

[franced]

"sonda90":potreste descrivermi in breve una semplice e chiara dimostrazione dell'equazione di una retta e un piano in uno spazio tridimensionale?
grazie in anticipo

Bè, dati due punti $A=(x_A ; y_A)$ e $B=(x_B ; y_B)$,
se voglio che un terzo punto $P=(x ; y)$ stia sulla retta
passante per $A$ e $B$, impongo che certi triangoli siano
simili e l'equazione nasce "magicamente" da sola.

Francesco Daddi

[desko]

Retta
Dati due punti $A=(x_A, y_A, z_A)$ e $B=(x_B, y_B, z_B)$ nello spazio, il generico punto $P=(x, y, z)$ deve essere allineato con questi.
Quindi le componenti dei vettori $PA$ e $BA$ devono essere proporzionali.
Da cui $(x-x_A)/(x_B-x_A)=(y-y_A)/(y_B-y_A)=(z-z_A)/(z_B-z_A)$ che è una delle forme della retta.
Da questa si possono ottenere facilmente le equazioni parametriche (decisamente più utili):
$x=(x_A-x_B)*t+x_A$
$y=(y_A-y_B)*t+y_A$
$x=(z_A-z_B)*t+z_A$
(come si fa la parentesi graffa del sistema?)
La terza possibilità è quella di indicare la retta come intersezione di due piani e quindi con un sistema di due equazioni polinomiali di primo grado nelle tre variabili.
Tutto abbastanza chiaro?