Equazioni reciproche

[Bad90]

Non sto capendo un passaggo di questa equazione:
$ 12(x^2+1/x^2)-4(x+1/x)-41=0 $

Bene, adesso arriva a questo:
$ 12(t^2-2)-4t-41=0 $

Ma da dove salta fuori questo?
$ (t^2-2) $

[peppe.carbone.90]

Allora, dal fatto che il termine $-4*(x+1/x)$ diventa $-4*t$, si intuisce che si è fatta la seguente posizione:

$t= x+1/x$

Il termine in parentesi che moltiplica il $12$ allora si può ricavare come segue

$t^2 = (x+1/x)^2 = x^2 + 1/x^2 + 2$, quindi ottieni che $t^2 = x^2 + 1/x^2 +2$, allora

$x^2 + 1/x^2 = t^2 - 2$

Quindi: $12*(x^2 + 1/x^2) = 12* (t^2 -2)$

[Bad90]

Ancora non sto capendo quel 2 da dove viene fuori. Io pensavo si dovesse trattare di un quadrato di binomio. Non sto capendo. Comunque grazie.

[anonymous_c5d2a1]

Parti dal fatto che $t=x+1/x$ ora se consideri $t^2=(x+1/x)^2$ ottieni $x^2+1/x^2+2$ ma il $2$ nella tua equazione dove sta? Allora consideri $t^2-2=(x+1/x)^2-2=x^2+1/x^2+2-2=x^2+1/x^2$ ciò che ti serve per fare i calcoli nella tua equazione.

[peppe.carbone.90]

Provo a rispiegare però non so se ci riuscirò. Allora, come ho scritto nel primo post, vedendo che da $-4(x+1/x)$ passa a $-4t$, si capice che si messo al posto di $(x+1/x)$ il fattore $t$. In altre parole si è posto che $t=(x+1/x)$.

Fin qui ci sei?

[Bad90]

"JoJo_90":Provo a rispiegare però non so se ci riuscirò. Allora, come ho scritto nel primo post, vedendo che da $-4(x+1/x)$ passa a $-4t$, si capice che si messo al posto di $(x+1/x)$ il fattore $t$. In altre parole si è posto che $t=(x+1/x)$.

Fin qui ci sei?

Si amico mio, fin li non ci sono problemi, infatti si intuisce....
Ma il punto che non sto capendo è questo $t^2=(x+1/x)^2$ ottieni $x^2+1/x^2+2$ ma il $2$, da dove salta fuori? Intendo questo $t^2-2$. Io ho pensato che fosse un quadrato di un binomio, così: $ t^2=(x+1/x)^2=>(x^2+(2x)/x+1) $

[peppe.carbone.90]

Ok. Ora il problema è scrivere l'equazione in termini di "t", facendo opportune sostituzioni. La prima sostituzione è immediata e ci fa capire che $(x+1/x)$ è uguale a $t$. Ora ci chiediamo: a quanto è uguale invece $(x^2 + 1/x^2)$ ?

$(x+1/x) = t$, ma:

$(x^2 + 1/x^2) =$ ?

In altre parole, se $(x+1/x)$ lo faccio diventare, o meglio, lo sostituisco con $t$, come faccio diventare $(x^2 + 1/x^2)$? Senza ragionare, uno potrebbe dire: beh se $t=(x+1/x)$ allora $t^2 = (x^2 + 1/x^2)$. Ma così non è, infatti se mi calcolo quanto vale $t^2$ ottengo:

$t^2 = (x+1/x)^2$ che fa: $t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2$ che è diverso da quello che volevo ottenere, cioè $(x^2 + 1/x^2)$. Però mi accorgo che, affinchè quello che ho ottenuto sia uguale a quello che volevo, basta passare il $2$ a primo membro; così ho:

$t^2 = x^2 + 1/x^2 + 2$, porto il $2$ a primo membro e ottengo $t^2 - 2 = x^2 + 1/x^2$.

Ora, alla domanda "con cosa sostituisco $(x^2 + 1/x^2)$", la risposta è: con $t^2 - 2$. Cioè:

$(x^2 + 1/x^2) = t^2 - 2$

Adesso va meglio?

Ops, non avevo visto che avevi aggiunto delle cose al post precedente.

"Bad90":
Ma il punto che non sto capendo è questo $t^2=(x+1/x)^2$ ottieni $x^2+1/x^2+2$ ma il $2$, da dove salta fuori? Intendo questo $t^2-2$. Io ho pensato che fosse un quadrato di un binomio, così: $ t^2=(x+1/x)^2=>(x^2+(2x)/x+1) $

Esatto ,quadrato di un binomio:

- quadrato del primo $=>$ $(x)^2 = x^2$;

- quadrato del secondo $=>$ $(1/x)^2 = 1/x^2$;

- più o meno doppio prodotto del primo per il secondo: $=>$ $2*x*1/x = 2x/x = 2$;

[Bad90]

Ok! Grazie amico mio! Avevo intuito che si trattava del quadrato di un binomio, ma non ero sicuro . Grazie mille.