Equazioni irrazionali....
Salve a tutti, mi sono reso conto da un sacco di tempo che ho lacune in matematica, ma non avrei mai pensato nelle equazioni, ed invece è risultato che sono una frana....
la domanda è banalissima: se ho la funzione $f(x)=sqrt(|x^2-2x|)-sqrt2x$ e devo calcolare $f(x)=0$, il dominio è $AAx in RR$, a questo punto la funzione diventa una semplice equazione irrazionale che può essere scritta come $sqrt(|x^2-2x|)=sqrt2x$...Risolvere quest'equazione equivale a risolvere il sistema ${(|x^2-2x|=2x^2),(x>=0):}$????
la domanda è banalissima: se ho la funzione $f(x)=sqrt(|x^2-2x|)-sqrt2x$ e devo calcolare $f(x)=0$, il dominio è $AAx in RR$, a questo punto la funzione diventa una semplice equazione irrazionale che può essere scritta come $sqrt(|x^2-2x|)=sqrt2x$...Risolvere quest'equazione equivale a risolvere il sistema ${(|x^2-2x|=2x^2),(x>=0):}$????
Risposte
"domy90":
Risolvere quest'equazione equivale a risolvere il sistema ${(|x^2-2x|=2x^2),(x>=0):}$????
Sì, va bene. La ragione per la quale hai imposto $x >= 0$ ti è chiara?
se non mi sbaglio si mette per la condizione di concordanza di segno...
Ma in questo caso si poteva anche spezzare la funzione? cioè risolvere le equazioni $sqrt(x^2-2x)-sqrt2x=0$ e $sqrt(-x^2+2x)-sqrt2x=0$?
Ma in questo caso si poteva anche spezzare la funzione? cioè risolvere le equazioni $sqrt(x^2-2x)-sqrt2x=0$ e $sqrt(-x^2+2x)-sqrt2x=0$?
Sì, si poteva; in genere si preferisce rimandare il più possibile questo spezzamento perché non è raro che la presenza del valore assoluto semplifichi qualche calcolo. Ad esempio, nel tuo caso rendeva inutile la condizione di esistenza e permetteva di scrivere subito un sistema risolvente con un'equazione razionale e una limitazione.. Lo spezzamento diventa però necessario per proseguire oltre al punto in cui sei arrivato.
ah capito, io avevo svolto in questo modo: ${((sqrt(|x^2+5x|))^2=(sqrt2x)^2),(x>=0):} rarr {(|x^2+5x|=2x^2),(x>=0):}$ e poi per la prima risolvevo i sistemi: ${(x^2+5x=2x^2),(x^2+5x>=0):} uu {(-x^2-5x=2x^2),(x^2+5x<=0):}$ e poi le soluzioni trovate le metto a sistema con la limitazione $x>=0$.... mica è sbagliato?
E' giusto.
ok, capito... Il segno invece è quasi la stessa cosa cioè devo studiare l'unione dei due sitemi: ${(D),(x<0):} uu {(x>=0),((sqrt(|x^2+5x|))^2>=(sqrt2x)^2):}$
${(D),(x<0):} uu {(x>=0),(|x^2+5x|^2>=2x^2):}$ e pe la seconda risolvere gli stessi sitemi di prima che sono: ${(x^2+5x>=2x^2),(x^2+5x>=0):} uu {(-x^2-5x>=2x^2),(x^2+5x<=0):}$ e poi trovata la soluzione sostituire nel di partenza....sembra che fila come ragionamento o no?
${(D),(x<0):} uu {(x>=0),(|x^2+5x|^2>=2x^2):}$ e pe la seconda risolvere gli stessi sitemi di prima che sono: ${(x^2+5x>=2x^2),(x^2+5x>=0):} uu {(-x^2-5x>=2x^2),(x^2+5x<=0):}$ e poi trovata la soluzione sostituire nel di partenza....sembra che fila come ragionamento o no?
Nel complesso, è giusto; nello scrivere il sistema
${(x>=0),(|x^2+5x|^2>=2x^2):}$
hai distrattamente indicato di elevare a quadrato il valore assoluto, e non era certo tua intenzione. Per risolvere questo sistema c'è un modo più semplice del tuo: essendo $x>=0$ ne consegue $x^2+5x>=0$, quindi non occorre separare in due casi; basta risolvere
${(x>=0),(x^2+5x>=2x^2):}$
${(x>=0),(|x^2+5x|^2>=2x^2):}$
hai distrattamente indicato di elevare a quadrato il valore assoluto, e non era certo tua intenzione. Per risolvere questo sistema c'è un modo più semplice del tuo: essendo $x>=0$ ne consegue $x^2+5x>=0$, quindi non occorre separare in due casi; basta risolvere
${(x>=0),(x^2+5x>=2x^2):}$
ah ho capito metre se c'era ad esempio $x<=0$ allora anche in questo caso abbrevio e il sistema diventa $...uu {(x<=0),(-x^2-5x>=2x^2):}$???
No perché $5x$ è negativo ma $x^2$ è positivo e quindi non sai il segno della loro somma; nel caso $x>=0$ si sapeva invece che i due addendi erano entrambi positivi.
ok tutto chiaro!!! grazie...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo