Equazioni goniometriche..aiuto

[morettinax]

1)cos^2 x+(radice3/2+1)cosx+radice3/2=0
2)cos(x-pgreco/2)+cos(x+pgreco/4)+radice2/2=0



come si risolvono?scusate per la scrittura ma non sono riuscita a scrivere in latex :(

[BIT5]

1) moltiplica

[math] \cos^2 x + \frac{\sqrt3}{2} \cos x + \cos x + \frac{\sqrt3}{2} = 0 [/math]

Raccogli a fattore parziale

[math] \cos x \( \cos x + \frac{\sqrt3}{2} \) + 1 \( \cos x + \frac{\sqrt3}{2} \) [/math]

E quindi

[math] \(cos x + 1 \) \( \cos x + \frac{\sqrt3}{2} \) = 0 [/math]

E quindi discuti fattore per fattore

[math] \cos x + 1 = 0 \to \cos x = -1 \to x = \pi + 2k \pi [/math]

[math] \cos x + \frac{\sqrt3}{2} = 0 \to \cos x = - \frac{\sqrt3}{2} [/math]

e quindi

[math] x= \frac56 \pi +2k \pi \ \ \ \ \ \ x= \frac76 \pi +2k \pi [/math]

Aggiunto 46 minuti più tardi:

2)

[math] \cos \(x- \frac{\pi}{2} \) [/math]

la risolvi con le formule di sottrazione, oppure con gli archi associati

Con le formule di sottrazione otterrai

[math] \cos x \cos \frac{\pi}{2} + \sin x \sin \frac{\pi}{2} = 0 \cdot \cos x + 1 \cdot \sin x = \sin x [/math]

Con gli archi associati, sapendo che

[math] \cos (-y) = \cos y [/math]

saprai che, raccogliendo

[math] \cos \(x- \frac{\pi}{2} \) = \cos \( - \(\frac{\pi}{2} - x \) \) = \cos \( \frac{\pi}{2} - x \) = \sin x [/math]

invece il secondo addendo con le formule di addizione sara'

[math] \cos \(x+ \frac{\pi}{4} \) = \cos x \cos \frac{\pi}{4} - \sin x \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt2}{2} \cos x - \frac{\sqrt2}{2} \sin x [/math]

l'equazione sara' dunque

[math] \sin x + \frac{\sqrt2}{2} \cos x - \frac{\sqrt2}{2} \sin x + \frac{\sqrt2}{2} = 0 [/math]

Aggiunto 15 minuti più tardi:

e quindi, ordinando per seno e coseno

[math] \frac{\sqrt2}{2} \cos x + \frac{2- \sqrt2}{2} \sin x + \frac{\sqrt2}{2} = 0 [/math]

e quindi moltiplicando tutto per 2

[math] \sqrt2 \cos x + (2- \sqrt2) \sin x = - \sqrt2 \ \ \ \ (I) [/math]

applicando le formule parametriche del seno e coseno avremo

[math] \sqrt2 \frac{1-t^2}{1+t^2} + (2- \sqrt2) \frac{2t}{1+t^2} = - \sqrt2 [/math]

(con

[math] t= \tan \frac{x}{2} [/math]

)

Osserviamo pero' che avendo introdotto le formule parametriche (ovvero introducendo la tangente) escludiamo il valore per cui l'argomento della tangente e'

[math] \frac{\pi}{2} [/math]

dal momento che la tangente per pi/2 (+ il periodo) non esiste.

Quindi essendo l'argomento della tangente x/2 allora escluderemo i valori per cui

[math] \frac{x}{2} = \frac{\pi}{2} + k \pi \to x = \pi +2k \pi [/math]

Quindi verifichiamo cosa succede all'equazione (I) se sostituiamo x= pigreco + 2k pigreco

[math] \sqrt2 \cos \pi + (2- \sqrt2) \sin \pi = - \sqrt2 [/math]

e quindi

[math] \sqrt2 \cdot (-1) + (2- \sqrt2) \cdot 0 = - \sqrt2 [/math]

Ovvero

[math] - \sqrt2 = - \sqrt2 [/math]

che come vedi e' verificata

Quindi

[math] x= \pi + 2k \pi [/math]

e' una soluzione

Ora riprendi da

[math] \sqrt2 \frac{1-t^2}{1+t^2} + (2- \sqrt2) \frac{2t}{1+t^2} = - \sqrt2 [/math]

Da cui, minimo comune multiplo

[math] \sqrt2 \frac{1-t^2}{1+t^2} + (2- \sqrt2) \frac{2t}{1+t^2} = - \sqrt2 \frac{1+t^2}{1+t^2} [/math]

Semplifichi il denominatore (posto

[math] 1+t^2 \no{=}0 \to t^2 \no{=} -1 [/math]

che e' sempre verificata

[math] \sqrt2 - \sqrt2 t^2 + 4t - 2 \sqrt2 t = - \sqrt2 - \sqrt2 t^2 [/math]

E quindi (spero di non aver fatto errori di conto)

[math] 4t -2 \sqrt2 t +2 \sqrt2 = 0 [/math]

Dividi tutto per 2

[math] 2t- \sqrt2 t + \sqrt2 = 0 \to (2- \sqrt2) t = - \sqrt2 \to t= \frac{- \sqrt2}{2- \sqrt2} \to t= \frac{\sqrt2}{\sqrt2-2} [/math]

E quindi

[math] \tan \frac{x}{2} = \frac{sqrt2}{\sqrt2 - 2} [/math]

da cui ancora puoi raccogliere a numeratore e denominatore radice 2 ottenendo

[math] \tan \frac{x}{2} = \frac{\sqrt2}{\sqrt2} \frac{1}{1- \sqrt2} = \frac{1}{1- \sqrt2} [/math]

razionalizzi e hai finito (non ottieni un valore noto, se ho fatto i calcoli corretti... comunque il procedimento e' esatto)