Equazioni goniometriche parametriche di secondo grado
Devo determinare il numero delle soluzioni della seguente equazione parametrica, al variare di $k$:
$4cos^2x - 4kcosx = 2k -1 $
$0<=x<=pi/2$.
Pongo $cosx = t$.
$4t^2 - 4kt = 2k -1$
$ 0<=t<=1$.
Applico il metodo della parabola fissa, ponendo $y=t^2$
$ y= t^2$
$ 4y - 4kt = 2k-1$
$ 0 <=t<=1$.
$y=t^2$ è l'equazione di una parabola con vertice nell'origine degli assi.
$4y - 4kt = 2k -1$ è l'equazione di un fascio di rette con generatrici $y=-1/4$ e $t=-(1/2)$, con centro $C (-1/2 ; -1/4)$.
per $t=1$, $k=5/6$; per $t=0$ $y=0$, quindi sostituisco le coordinate $(0;0)$ nell'equazione del fascio per trovarmi $k$: $4y - 4kt= 2k -1 => 2k -1 = 0 => k=1/2$.
Quindi concludo che si ha una soluzione per $1/2 <= k <= 5/6$.
Il mio problema è ora trovare i valori di $k$ tali per cui si abbiano due soluzioni. Per arrivarci ho pensato di mettere a sistema l'equazione della parabola $y=t^2$ con l'equazione del fascio di rette $4y - 4kt -2k + 1 = 0$; risolvendo poi l'equazione di secondo grado ho posto $DELTA = 0 => k^2 + 2k -1= 0$, per determinare il valore di $k$ tale per cui si avesse tangenza fra una retta del fascio e la parabola. Viene $k = -1 +-sqrt(2)$. La tangenza col tratto di parabola limitato da $t$ si ha quindi per $k= -1 +sqrt(2)$.
Adesso però non so come trovare gli altri valori. Qualche consiglio?
EDIT. Però se so che si ha tangenza per $ = -1 +sqrt(2)$ e so che si ha una soluzione per $-1/2 <= k <= 5/6$ posso dedurre che si hanno due soluzioni per $-1 + sqrt(2) <=k<1/2$, è corretto?
Il risultato coincide con quello del libro, se non per il fatto che, secondo il libro, per $k=1/2$ si hanno due soluzioni. Sapreste dirmi il perché?
$4cos^2x - 4kcosx = 2k -1 $
$0<=x<=pi/2$.
Pongo $cosx = t$.
$4t^2 - 4kt = 2k -1$
$ 0<=t<=1$.
Applico il metodo della parabola fissa, ponendo $y=t^2$
$ y= t^2$
$ 4y - 4kt = 2k-1$
$ 0 <=t<=1$.
$y=t^2$ è l'equazione di una parabola con vertice nell'origine degli assi.
$4y - 4kt = 2k -1$ è l'equazione di un fascio di rette con generatrici $y=-1/4$ e $t=-(1/2)$, con centro $C (-1/2 ; -1/4)$.
per $t=1$, $k=5/6$; per $t=0$ $y=0$, quindi sostituisco le coordinate $(0;0)$ nell'equazione del fascio per trovarmi $k$: $4y - 4kt= 2k -1 => 2k -1 = 0 => k=1/2$.
Quindi concludo che si ha una soluzione per $1/2 <= k <= 5/6$.
Il mio problema è ora trovare i valori di $k$ tali per cui si abbiano due soluzioni. Per arrivarci ho pensato di mettere a sistema l'equazione della parabola $y=t^2$ con l'equazione del fascio di rette $4y - 4kt -2k + 1 = 0$; risolvendo poi l'equazione di secondo grado ho posto $DELTA = 0 => k^2 + 2k -1= 0$, per determinare il valore di $k$ tale per cui si avesse tangenza fra una retta del fascio e la parabola. Viene $k = -1 +-sqrt(2)$. La tangenza col tratto di parabola limitato da $t$ si ha quindi per $k= -1 +sqrt(2)$.
Adesso però non so come trovare gli altri valori. Qualche consiglio?
EDIT. Però se so che si ha tangenza per $ = -1 +sqrt(2)$ e so che si ha una soluzione per $-1/2 <= k <= 5/6$ posso dedurre che si hanno due soluzioni per $-1 + sqrt(2) <=k<1/2$, è corretto?
Il risultato coincide con quello del libro, se non per il fatto che, secondo il libro, per $k=1/2$ si hanno due soluzioni. Sapreste dirmi il perché?
Risposte
Ma perchè hai messo $<1/2$ e non $<=1/2$? In effetti, per $k = -1+sqrt(2)$ si ha tangenza, e per $k$ più grande, fino a $1/2$ compreso, si hanno due soluzioni, poi se ne ha una sola fino a $k=5/6$, nel senso che la retta interseca la parabola in due punti, ma uno ha $t < 0$; poi, per $k>5/6$ anche l'altra l'intersezione va fuori range e diventa $t>1$
Col grafico è chiarissimo. Beh, almeno avevo sbagliato soltanto questo 
Grazie di nuovo!
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