Equazioni goniometriche (71454)

[morettinax]

Risolvi la seguente equazione riconducibile ad un equazione lineare mediante scomposizione :

2 sin^2 x (1-2 cos x) -cos x +2 cos^2 x =0

[BIT5]

[math] 2 \sin^2 x (1-2 \cos x) - \cos x ( 1 - 2 \cos x) = 0 [/math]

(raccoglimento a fattore parziale, cosi' come

[math] a^2+b^2+a^3+ab^2 = 1(a^2+b^2)+a(a^2+b^2) = (1+a)(a^2+b^2) [/math]

e quindi

[math] (2 \sin^2 x - \cos x)(1-2 \cos x) = 0 [/math]

Affinche' l'equazione sia verificata, bastera' porre ogni fattore = 0, quindi

[math] 1-2 \cos x = 0 \to \cos x = \frac12 [/math]

Gli angoli che hanno come coseno 1/2 sono 60 (pigreco/3) e 300 (5/6 pigreco) quindi

[math] x= \frac{\pi}{3} + 2 k \pi \cup x= \frac56 \pi +2 k \pi [/math]

Per l'altra.

Applichiamo la regola fondamentale della trigonometria

[math] \sin^2 x = 1 - \cos^2 x [/math]

da cui

[math] 2 (1- \cos^2 x) - \cos x = 0 \to 2 - 2 \cos^2 x - \cos x = 0 [/math]

e quindi

[math] 2 \cos^2 x + \cos x -2 = 0[/math]

trattando cos x come l'incognita e applicando la formula per la risoluzione delle eq. di secondo grado, avremo

[math] \cos x = \frac{-1 \pm \sqrt{1+8}}{4} = \frac{-1 \pm 3}{4} [/math]

e quindi

[math] \cos x = - \frac12 \cup \cos x = -1 [/math]

il coseno vale -1/2 a 2/3pigreco e 4/3 pigreco
vale -1 a pigreco

quindi

[math] x= \frac23 \pi +2k \pi \cup x= \frac43 \pi + 2k \pi [/math]

[math] x= \pi +2k \pi [/math]

La soluzione di tutta l'equazione sara' dunque

[math] x= \frac{\pi}{3} + 2k \pi \cup x= \frac23 \pi + 2k \pi \cup x= \pi + 2k \pi \cup x= \frac43 \pi +2k \pi \cup x= \frac53 \pi + 2k \pi [/math]

Come puoi vedere, infine, pigreco/3 e 4/3 pigreco, sono periodiche uno dell'altro. Cioe' se a pigreco/3 aggiungi pigreco ottieni 4/3 pigreco.
Idem per 2/3 pigreco e 5/3 pigreco.

Quindi la soluzione puo' essere riassunta in

[math] x= \frac{\pi}{3} + k \pi \cup x= \pi + 2k \pi \cup x= \frac23 \pi + k \pi [/math]

se hai dubbi chiedi :)