Equazioni frazionarie

[Bad90]

Vorrei capire come si risolvono questi esercizi!

Applicando la formula della scomposizione in fattori di un trinomio di secondo grado, risolvi la seguente equazione frazionaria.

$ 1/(2x^2+x-1)+1/(x^2+2x+1)=2/(4x^2-4x+1) $

Io ho pensato di fare così:

Prima frazione cominciando da sinistra

$ 1/(2x^2+x-1) $

Si ottiene:
$ x1=1/2 $ ed $ x2=-1 $

Quindi la prima equazione frazionaria sarà:

$ 1/(2(x-1/2)(x+1)) $

$ 1/(2((2x-1)/(2))(x+1)) $

$ 1/((2x-1)(x+1)) $

Utilizzando lo stesso metodo sono arrivato a....

Seconda frazione cominciando da sinistra

$ 1/((x+1)(x+1)) $

Terza frazione cominciando da sinistra

$ 2/((2x-1)(2x-1)) $

Che scritta per intero sarà

$ 1/((2x-1)(x+1))+1/((x+1)(x+1))=2/((2x-1)(2x-1)) $

Va bene fin quì?

Adesso devo fare il minimo comune multiplo?

Intendo questo:

$ m.c.m.=(2x-1)^2(x+1)^2 $

E poi continuare ........

[G.D.5]

In generale devi:
1. Scomporre in fattori tutti i denominatori che possono essere scomposti in fattori.
2. Stabilire le C.E. (o C.A. a seconda di come piace chiamare a scuola la più grande parte di \(\mathbb{R}\) in cui ha senso andare a cercare le soluzioni).
3. Determinare il m.c.m. tra i denominatori.
4. Moltiplicare il primo ed il secondo membro dell'equazione per il suddetto m.c.m., in modo da eliminare i denominatori (avendo ovviamente cura di effettuare le dovute semplificazioni all'atto di moltiplicare) e ricondurti ad un'equazione intera.
5. Risolvere l'equazione intera.
6. Controllare che le soluzioni trovate siano compatibili con le C.E. inizialmente poste.

In particolare, fin dove hai fatto e scritto, hai fatto e scritto bene.

[Bad90]

Perfetto, ti ringrazio vivamente adesso continuo a risolverla.

Quindi $ C.E. x != 1/2 $ e $ x != -1 $

Giusto?

Segue

$ 1/((2x-1)(x+1))+1/((x+1)(x+1))=2/((2x-1)(2x-1)) $

$ ((2x-1)(x+1)+(2x-1)^2)/((2x-1)^2(x+1)^2)=(2(x+1)^2)/((2x-1)^2(x+1)^2) $

$ (2x-1)^2(x+1)^2*((2x-1)(x+1)+(2x-1)^2)/((2x-1)^2(x+1)^2)=(2(x+1)^2)/((2x-1)^2(x+1)^2)*(2x-1)^2(x+1)^2 $

Quindi

$ (2x-1)(x+1)+(2x-1)^2=2(x+1)^2 $

$ 2x^2+2x-x-1+4x^2-4x+1=2x^2+4x+2 $

$ 6x^2-3x=2x^2+4x+2 $

$ 4x^2-7x-2 $

Va bene fin quì?

$ Delta= 49+32=9^2 $

$ x=(7+-9)/8 $

$ x1=2 $

$ x2=-1/4 $

Non conosco i risultati di questa, voi cosa ne dite?

Ciao amici!