Equazioni frazionarie
21.15. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
b )\(\displaystyle \frac{1}{(x-3)}=\frac{x}{(3 - x)} \);
\(\displaystyle m.c.m. = (x - 3)(3 - x) \) oppure \(\displaystyle m.c.m. = (x - 3) \) dato che le due parentesi sono uguali, ma cambiate di segno?
\(\displaystyle C.E. x \not= 3 \)
Continuo dopo.
b )\(\displaystyle \frac{1}{(x-3)}=\frac{x}{(3 - x)} \);
\(\displaystyle m.c.m. = (x - 3)(3 - x) \) oppure \(\displaystyle m.c.m. = (x - 3) \) dato che le due parentesi sono uguali, ma cambiate di segno?
\(\displaystyle C.E. x \not= 3 \)
Continuo dopo.
Risposte
"phi.89":
\(\displaystyle m.c.m. = (x - 3)(3 - x) \) oppure \(\displaystyle m.c.m. = (x - 3) \) dato che le due parentesi sono uguali, ma cambiate di segno?
La seconda in quanto $\frac{x}{3-x}=-\frac{x}{x-3}$.
Ho risolto così:
\(\displaystyle C.E. \not= 3 \)
\(\displaystyle \frac{1 + x}{x - 3} = 0 \)
Soluzione:
\(\displaystyle x = - 1 \);
Soluzione del libro:
\(\displaystyle \frac{3}{2} \)
\(\displaystyle C.E. \not= 3 \)
\(\displaystyle \frac{1 + x}{x - 3} = 0 \)
Soluzione:
\(\displaystyle x = - 1 \);
Soluzione del libro:
\(\displaystyle \frac{3}{2} \)
"phi.89":
Soluzione del libro:
\(\displaystyle \frac{3}{2} \)
Se il testo è quello, anche wolframalpha dà ragione a noi. Mah...
Nooo, non ci posso credere! In realtà le soluzioni del libro sono esatte, infatti si tratta dell'esercizio numero 21.16, non 21.15! ](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Cos'è wolframalpha?
"Zero87":
Se il testo è quello, anche wolframalpha dà ragione a noi. Mah...
Cos'è wolframalpha?
"phi.89":
Cos'è wolframalpha?
https://it.wikipedia.org/wiki/Wolfram_Alpha
Lo uso solo per la matematica - per ricontrollare i calcoli dal momento che sono uno che non ne sbaglia pochi o per conferme - e da quel punto di vista è davvero eccellente!
21.18. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
a ) \(\displaystyle \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 2} \);
\(\displaystyle \frac{(x - 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \);
\(\displaystyle C.E. x \not= 1; x \not= 2 \)
\(\displaystyle \frac{(x - 2)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \).
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle \frac{3}{2} \)
c ) \(\displaystyle \frac{3x + 1}{3x^2 + x} = 1 \);
\(\displaystyle \frac{\cancel{(3x + 1)}}{x\cancel{(3x + 1)}} = 1 \)
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1 \)
a ) \(\displaystyle \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 2} \);
\(\displaystyle \frac{(x - 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \);
\(\displaystyle C.E. x \not= 1; x \not= 2 \)
\(\displaystyle \frac{(x - 2)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \).
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle \frac{3}{2} \)
c ) \(\displaystyle \frac{3x + 1}{3x^2 + x} = 1 \);
\(\displaystyle \frac{\cancel{(3x + 1)}}{x\cancel{(3x + 1)}} = 1 \)
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1 \)
"phi.89":
21.18. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
a ) \(\displaystyle \frac{x - 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 2} \);
\(\displaystyle \frac{(x - 2)(x - 2) - (x - 1)(x - 1)}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \);
\(\displaystyle C.E. x \not= 1; x \not= 2 \)
\(\displaystyle \frac{(x - 2)^2 - (x - 1)^2}{(x - 1)(x - 2)} = 0 \).
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle \frac{3}{2} \)
c ) \(\displaystyle \frac{3x + 1}{3x^2 + x} = 1 \);
\(\displaystyle \frac{\cancel{(3x + 1)}}{x\cancel{(3x + 1)}} = 1 \)
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1 \)
Partiamo dalla prima: tutti i passaggi corretti, ma arrivi qui $((x-2)^2-(x-1)^2)/((x-2)(x-1))=0$ e qualcosa la sbagli, infatti sviluppando ottengo: $(x^2-4x+4-x^2+2x-1)/((x-2)(x-1)$
$(-2x+3)/((x-2)(x-1)$. Il denominatore lo posso semplificare grazie alle condizioni di esistenza e alla fine risulta $-2x+3=0$, quindi $x=3/2$.
"phi.89":
c ) \(\displaystyle \frac{3x + 1}{3x^2 + x} = 1 \);
\(\displaystyle \frac{\cancel{(3x + 1)}}{x\cancel{(3x + 1)}} = 1 \)
Soluzioni: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1 \)
Perché dici che non ci sono soluzioni? Ti rimane $$\frac{1}{x}=1 \quad\rightarrow\quad x = 1$$
@anonymous_c5d2a1:
Mi sono confusa. Infatti i quadrati nell'equazione \(\displaystyle (x - 2)^2 - (x - 1)^2 = 0 \) sono legati dal segno meno e quindi si devono risolvere. Io invece credevo che le soluzioni fossero \(\displaystyle x = 2 \) e \(\displaystyle x = 1 \) e quindi avevo messo \(\displaystyle \varnothing \).
@minomic:
Grazie. Mi era sfuggito...
Mi sono confusa. Infatti i quadrati nell'equazione \(\displaystyle (x - 2)^2 - (x - 1)^2 = 0 \) sono legati dal segno meno e quindi si devono risolvere. Io invece credevo che le soluzioni fossero \(\displaystyle x = 2 \) e \(\displaystyle x = 1 \) e quindi avevo messo \(\displaystyle \varnothing \).
@minomic:
Grazie. Mi era sfuggito...
21.19. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
d ) \(\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x}{1+x}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \)
C.E. \(\displaystyle x\not=1 \); \(\displaystyle x\not= -1 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2-x^2+1}{(x-1)(x+1)}=0 \)
\(\displaystyle \frac{\cancel{x^2}+2x+1\cancel{-x^2}+1}{(x-1)(x+1)}=0 \)
\(\displaystyle \frac{2x + 2}{(x-1)(x+1)}=0 \)
Soluzione: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle -\frac{1}{3} \)
d ) \(\displaystyle \frac{x+1}{x-1}-\frac{x}{1+x}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \)
C.E. \(\displaystyle x\not=1 \); \(\displaystyle x\not= -1 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2-x^2+1}{(x-1)(x+1)}=0 \)
\(\displaystyle \frac{\cancel{x^2}+2x+1\cancel{-x^2}+1}{(x-1)(x+1)}=0 \)
\(\displaystyle \frac{2x + 2}{(x-1)(x+1)}=0 \)
Soluzione: \(\displaystyle \varnothing \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle -\frac{1}{3} \)
"phi.89":
\(\displaystyle \frac{(x+1)(x+1)-x(x-1)}{(x-1)(x+1)}=0 \)
C.E. \(\displaystyle x\not=1 \); \(\displaystyle x\not= -1 \)
\(\displaystyle \frac{(x+1)^2-x^2+1}{(x-1)(x+1)}=0 \)
Sbagliato il numeratore: il prodotto $-x(x-1)$ fa $-x^2+x$ e non $-x^2+1$.
I'm so fucking retarded
"phi.89":
I'm so fucking retarded
Si tratta solo di fare maggiore attenzione quando si svolgono calcoli, anche se in apparenza semplici. L'errore di segno o aggiungere/togliere una variabile al momento sbagliato conducono a risultati completamente sbagliati.
21.20. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
d ) \(\displaystyle 4-x^2=\frac{x^2+5x+6}{x+2}-1 \)
\(\displaystyle \frac{(4-x^2)(x+2)-x^2-5x-6+x+2}{x+2}=0 \)
C.E. \(\displaystyle x\not=-2 \)
\(\displaystyle \frac{\cancel{4x}-x^3+8-2x^2-x^2\cancel{-5x}-6+\cancel{x}+2}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{-x^3-3x^2+4}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(-x^2-4x-4)(x-1)}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(-x-2)(x+2)(x-1)}{x+2}=0 \)
Soluzione: \(\displaystyle 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1, −2 \)
d ) \(\displaystyle 4-x^2=\frac{x^2+5x+6}{x+2}-1 \)
\(\displaystyle \frac{(4-x^2)(x+2)-x^2-5x-6+x+2}{x+2}=0 \)
C.E. \(\displaystyle x\not=-2 \)
\(\displaystyle \frac{\cancel{4x}-x^3+8-2x^2-x^2\cancel{-5x}-6+\cancel{x}+2}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{-x^3-3x^2+4}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(-x^2-4x-4)(x-1)}{x+2}=0 \)
\(\displaystyle \frac{(-x-2)(x+2)(x-1)}{x+2}=0 \)
Soluzione: \(\displaystyle 1 \)
Soluzione del libro: \(\displaystyle 1, −2 \)
Trovo anch'io solo $x=1$:
$4-x^2=(x^2+5x+6)/(x+2)-1->{(4-x^2=((x+2)(x+3))/(x+2)-1), (x+2!=0):}->$
${(4-x^2=(x+3)-1), (x!=-2):}->{(x^2+x-2=0), (x!=-2):}->$
${((x-1)(x+2)=0), (x!=-2):}->x=1$
$4-x^2=(x^2+5x+6)/(x+2)-1->{(4-x^2=((x+2)(x+3))/(x+2)-1), (x+2!=0):}->$
${(4-x^2=(x+3)-1), (x!=-2):}->{(x^2+x-2=0), (x!=-2):}->$
${((x-1)(x+2)=0), (x!=-2):}->x=1$
Ciao a tutti, secondo me qui siamo un po' nel campo della "filosofia". Mi spiego: molto probabilmente il libro tralascia la condizione $x != -2$ perché $$\frac{x^2+5x+6}{x+2} = \frac{(x+3)(x+2)}{x+2} = x+3$$ e questo elimina il denominatore e, con esso, il problema.
Il fatto è questo: se il testo scrive direttamente $x+3$ non ci sono dubbi. Però se scrive $(x^2+5x+6)/(x+2)$ che si fa? Si mette la condizione $x != -2$ oppure non la si mette perché quell'$x+2$ si semplifica subito? Personalmente io sono d'accordo con chiaraotta e la metterei ma probabilmente il libro fa il ragionamento opposto.
Il fatto è questo: se il testo scrive direttamente $x+3$ non ci sono dubbi. Però se scrive $(x^2+5x+6)/(x+2)$ che si fa? Si mette la condizione $x != -2$ oppure non la si mette perché quell'$x+2$ si semplifica subito? Personalmente io sono d'accordo con chiaraotta e la metterei ma probabilmente il libro fa il ragionamento opposto.
"phi.89":
\(\displaystyle \frac{(-x-2)(x+2)(x-1)}{x+2}=0 \)
Anche in questo mio ultimo passaggio \(\displaystyle (x+2) \) si semplifica. Quindi le soluzioni sono \(\displaystyle -2,1 \)
Ripeto: io non la metterei ma evidentemente il libro lo fa. Con questo non è che il libro abbia sempre ragione... 
Bitch, please. 
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