Equazioni frazionarie
21.15. Risolvi le seguenti equazioni frazionarie.
b )\(\displaystyle \frac{1}{(x-3)}=\frac{x}{(3 - x)} \);
\(\displaystyle m.c.m. = (x - 3)(3 - x) \) oppure \(\displaystyle m.c.m. = (x - 3) \) dato che le due parentesi sono uguali, ma cambiate di segno?
\(\displaystyle C.E. x \not= 3 \)
Continuo dopo.
b )\(\displaystyle \frac{1}{(x-3)}=\frac{x}{(3 - x)} \);
\(\displaystyle m.c.m. = (x - 3)(3 - x) \) oppure \(\displaystyle m.c.m. = (x - 3) \) dato che le due parentesi sono uguali, ma cambiate di segno?
\(\displaystyle C.E. x \not= 3 \)
Continuo dopo.
Risposte
Concordo con la soluzione $x=1$
"anonymous_c5d2a1":
Concordo con la soluzione $x=1$
OMG
E concordo anch'io : il libro fa un erroraccio. Infatti, per definizione, sono soluzioni di un'equazione quei numeri che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'eguaglianza; nel nostro caso invece quella sostituzione origina una formula priva di significato perché contiene una divisione per zero. Anche agli autori capita di sbagliarsi!
"giammaria":
E concordo anch'io : il libro fa un erroraccio. Infatti, per definizione, sono soluzioni di un'equazione quei numeri che, sostituiti all'incognita, rendono vera l'eguaglianza; nel nostro caso invece quella sostituzione origina una formula priva di significato perché contiene una divisione per zero. Anche agli autori capita di sbagliarsi!
Nooo, giammaria anche tu, che sei moderatore!
"phi.89":
\( \displaystyle \frac{(-x-2)\cancel{(x+2)}(x-1)}{\cancel{x+2}}=0 \)
In questo caso il denominatore si semplifica e la condizione di esistenza non esiste più.
"minomic":
Ciao a tutti, secondo me qui siamo un po' nel campo della "filosofia".
Ma quale filosofia, questa è pura logica!
@chiaraotta:
La condizione di esistenza non si mette a sistema quando il denominatore si annulla!
@phi.89: Non ho capito se stai scherzando oppure no...
Suppongo che il testo sia questo (dimmi se quoto giusto)
e dici
In questo caso il denominatore si semplifica e la condizione di esistenza non esiste più.
[...]
@chiaraotta:
La condizione di esistenza non si mette a sistema quando il denominatore si annulla![/quote]
Absolutely not!
La condizione di esistenza resta, non va via: a prescindere da tutti i calcoli che si fanno e dei vari giri numerici ragionativi o altro, la condizione è lì e lì rimane.
Devi risolvere l'equazione originale e l'equazione originale ha $x \ne -2$ come CE. Qualora tu trovassi una soluzione $x= -2$ essa non è da considerare perché non rispetta l'equazione che devi risolvere.
E' lo stesso motivo per cui
$f(x)= \frac{(x+1)^2}{x+1}$
non è continua in $x=-1$. Oppure lo stesso motivo per cui
$f(x)=0$ non ammette soluzione ($f(x)$ è quella detta).
Che poi semplifichi e trovi $x=-1$ essa soddisfa l'equazione semplificata ma non l'originale.
PS.
Facendo l'anteprima ho visto l'intervento di minomic (che saluto
).
"phi.89":
d ) \(\displaystyle 4-x^2=\frac{x^2+5x+6}{x+2}-1 \)
e dici
"phi.89":
[quote="phi.89"]
\( \displaystyle \frac{(-x-2)\cancel{(x+2)}(x-1)}{\cancel{x+2}}=0 \)
In questo caso il denominatore si semplifica e la condizione di esistenza non esiste più.
[...]
@chiaraotta:
La condizione di esistenza non si mette a sistema quando il denominatore si annulla![/quote]
Absolutely not!
La condizione di esistenza resta, non va via: a prescindere da tutti i calcoli che si fanno e dei vari giri numerici ragionativi o altro, la condizione è lì e lì rimane.
Devi risolvere l'equazione originale e l'equazione originale ha $x \ne -2$ come CE. Qualora tu trovassi una soluzione $x= -2$ essa non è da considerare perché non rispetta l'equazione che devi risolvere.
E' lo stesso motivo per cui
$f(x)= \frac{(x+1)^2}{x+1}$
non è continua in $x=-1$. Oppure lo stesso motivo per cui
$f(x)=0$ non ammette soluzione ($f(x)$ è quella detta).
Che poi semplifichi e trovi $x=-1$ essa soddisfa l'equazione semplificata ma non l'originale.
PS.
Facendo l'anteprima ho visto l'intervento di minomic (che saluto
).
Ragazzi vi lascio nella vostra convinzione, mi dispiace della vostra ignoranza.
Ciao!
Ciao!
Ok, per me non c'è problema.
Però sono convinto che $x=-1$ sia soluzione di $x+1=0$ e non di $\frac{(x+1)^2}{x+1}=0$, ma comunque se scopro che la mia convinzione è sbagliata, sono disposto tranquillamente a ritrattare con allegrezza per imparare qualcosa di nuovo. Non sto scherzando!
E' lo stesso discorso per cui la funzione
$f(x)=\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
ammette una discontinuità eliminabile - non mi chiedete le specie che non me le ricordo mai! - in $x= -1$, mentre per $x \ne -1$, $f(x)=x+1$.
Però sono convinto che $x=-1$ sia soluzione di $x+1=0$ e non di $\frac{(x+1)^2}{x+1}=0$, ma comunque se scopro che la mia convinzione è sbagliata, sono disposto tranquillamente a ritrattare con allegrezza per imparare qualcosa di nuovo. Non sto scherzando!
E' lo stesso discorso per cui la funzione
$f(x)=\frac{(x+1)^2}{(x+1)}$
ammette una discontinuità eliminabile - non mi chiedete le specie che non me le ricordo mai! - in $x= -1$, mentre per $x \ne -1$, $f(x)=x+1$.
"phi.89":
Ragazzi vi lascio nella vostra convinzione, mi dispiace della vostra ignoranza.
Ciao!
Mi dispiace ma proprio non capisco: chiedi aiuto per un esercizio, poi dai torto a tutti (e tutti siamo d'accordo e ti stiamo dimostrando che sbagli) sulla base del risultato proposto dal libro?
Io questo atteggiamento non lo capisco, comunque no problem.
Scusate ragazzi, non volevo essere scortese.
Rimango con il dubbio, in attesa di chiarimenti che mi giungano magari attraverso l'esperienza o l'intuizione.
Di certo non posso definirmi più competente di voi, visto che studio la matematica da soli 15 giorni.
Mi dispiace ancora!
Ciao!
Rimango con il dubbio, in attesa di chiarimenti che mi giungano magari attraverso l'esperienza o l'intuizione.
Di certo non posso definirmi più competente di voi, visto che studio la matematica da soli 15 giorni.
Mi dispiace ancora!
Ciao!
"phi.89":
Rimango con il dubbio, in attesa di chiarimenti che mi giungano magari attraverso l'esperienza o l'intuizione.
Questa è un'ottima idea: chissà se passa la prof.ssa @melia o se interverrà il mitico giammaria (prof anche lui?!?).
"phi.89":
Di certo non posso definirmi più competente di voi, visto che studio la matematica da soli 15 giorni.
Questo è un falso mito perché non mi meraviglierei di avere qualche lacuna - anche brutta - nonostante lo status di laureato.
Ecco... non che avrei tanto da ridere se fosse vero!
"phi.89":
Mi dispiace ancora!
Don't worry, personalmente so che molto studio porta a perdere la pazienza.
Concordo assolutamente con Zero87 (che saluto nuovamente ), non c'è alcun problema!
Per concludere riprendo un concetto già in parte espresso da Zero87: dire $$1 = \frac{x}{x}$$ non è completamente corretto, dal momento che $1$ è $1$ punto e basta, mentre $x/x$ è uguale a $1$ solo se $x != 0$, altrimenti non ha proprio senso. Questo perché puoi semplificare solo qualcosa che esiste, e non semplificare qualcosa per farlo esistere. In altre parole la semplificazione (come ogni altra operazione) avviene dopo la verifica di esistenza.
Ciao!
), non c'è alcun problema!Per concludere riprendo un concetto già in parte espresso da Zero87: dire $$1 = \frac{x}{x}$$ non è completamente corretto, dal momento che $1$ è $1$ punto e basta, mentre $x/x$ è uguale a $1$ solo se $x != 0$, altrimenti non ha proprio senso. Questo perché puoi semplificare solo qualcosa che esiste, e non semplificare qualcosa per farlo esistere. In altre parole la semplificazione (come ogni altra operazione) avviene dopo la verifica di esistenza.
Ciao!
"Zero87":
[quote="phi.89"]Rimango con il dubbio, in attesa di chiarimenti che mi giungano magari attraverso l'esperienza o l'intuizione.
Questa è un'ottima idea: chissà se passa la prof.ssa @melia o se interverrà il mitico giammaria (prof anche lui?!?).[/quote]
Un mio intervento c'è già stato ed escludevo la soluzione $x=-2$, spiegandone il perché. Per inciso, sono prof anch'io; questo non esclude che io possa sbagliarmi, ma credo di avere almeno l'esperienza auspicata da phi.89.
Ritengo probabile che l'autore del libro sia partito da un'equazione senza frazioni e che aveva anche la soluzione $x=-2$; ha poi pensato di complicare un po' le cose moltiplicando e dividendo per uno stesso fattore e non ha notato che lo sceglieva in modo da modificare la risposta.
Comunque se phi.89 ha qualche motivazione a favore dell'accettabilità della soluzione $x=-2$ (diversa dal semplice "lo dice il libro") la leggerò volentieri.
"giammaria":
Ritengo probabile che l'autore del libro sia partito da un'equazione senza frazioni e che aveva anche la soluzione $x=-2$; ha poi pensato di complicare un po' le cose moltiplicando e dividendo per uno stesso fattore e non ha notato che lo sceglieva in modo da modificare la risposta.
Esattamente ciò che ho pensato anche io. E' l'unica! Anche perché credo che le soluzioni vengano da risolutori automatici (i.e. software) che non dovrebbero proprio commettere certi errori.
Scusatemi ragazzi io avevo fatto un ragionamento semplice e cioè che se il denominatore si semplifica diventa una semplice equazione.
@minomic:
Grazie, ho capito.
@Zero87:
Ci ritorneremo quando avrò studiato le funzioni e allora sicuramente ne capirò di più.
A presto amici!
@minomic:
Grazie, ho capito.
@Zero87:
Ci ritorneremo quando avrò studiato le funzioni e allora sicuramente ne capirò di più.
A presto amici!
@phi.89:
Bene; vedo con piacere che avevi una motivazione e quasi mi rincresce di doverla distruggere.
Quando semplifichi una frazione dividi i suoi termini per una stesso numero; è lecito per la proprietà "Si possono moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero". Le parole che ho sottolineato ti dicono però che se $x=-2$ non si può dividere per $x+2$ e quindi è proibito fare questa semplificazione.
@Zero87:
Sarei addirittura mitico? Poffarbacco! Comunque, grazie.
Bene; vedo con piacere che avevi una motivazione e quasi mi rincresce di doverla distruggere.
Quando semplifichi una frazione dividi i suoi termini per una stesso numero; è lecito per la proprietà "Si possono moltiplicare o dividere numeratore e denominatore per uno stesso numero diverso da zero". Le parole che ho sottolineato ti dicono però che se $x=-2$ non si può dividere per $x+2$ e quindi è proibito fare questa semplificazione.
@Zero87:
Sarei addirittura mitico? Poffarbacco! Comunque, grazie.
Concordo come avevo detto in precedenti post che la soluzione $x=-2$ è esclusa. Devo però deludervi dicendo che il software Mathematica 4.0 considera entrambe le soluzioni. Non lo capisco!
Anche Maxima e Derive accettano $x=-2$ mentre Matlab no!
A questo punto potrebbe essere un problema di approssimazione interna al software, però è comunque piuttosto strano.
A questo punto potrebbe essere un problema di approssimazione interna al software, però è comunque piuttosto strano.
"minomic":
In altre parole la semplificazione (come ogni altra operazione) avviene dopo la verifica di esistenza.
Cercavo proprio queste parole che non mi arrivavano: però dalle varie perifrasi che ho fatto si intendeva proprio questo.
"giammaria":
Per inciso, sono prof anch'io; questo non esclude che io possa sbagliarmi, ma credo di avere almeno l'esperienza auspicata da phi.89.
Oltre ad augurarti buon lavoro - professione ingrata quella del prof! - come ho detto in un altro intervento nessuno esclude che possiamo sbagliarci.
"phi.89":
Scusatemi ragazzi io avevo fatto un ragionamento semplice e cioè che se il denominatore si semplifica diventa una semplice equazione.
[...]
@Zero87:
Ci ritorneremo quando avrò studiato le funzioni e allora sicuramente ne capirò di più.
E noi abbiamo cercato di farti capire dove sbagliavi - forse con troppa enfasi e veemenza, sorry!
Arrivederci a quando farai le funzioni.
"giammaria":
@Zero87:
Sarei addirittura mitico? Poffarbacco! Comunque, grazie.
Tu e @melia siete mitici (anche tanti altri, ma nomino solo i verde vestiti in questo caso per non dilungarmi troppo
)."minomic":
Anche Maxima e Derive accettano $ x=-2 $ mentre Matlab no!
A questo punto potrebbe essere un problema di approssimazione interna al software, però è comunque piuttosto strano.
Su wolframalpha stamattina avevo scritto
$f(x)= \frac{(x+1)^2}{x+1}$
e m'ha risposto "no solution exist" o "no root exist", non ricordo cosa di preciso, poi, dando ragione a me (wow), ha detto che $f(x)=x+1$ per $x \ne -1$.
Vorrei ringraziare tutti voi amici del forum per aver partecipato a questa discussione che si è rivelata per me molto interessante e dalla quale ho imparato molto!
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