Equazioni e disequazioni esponenziali (77078)

[ale92_ale]

ciao! potete aiutarmi per favore a risolvere le seguenti equazioni? Grazie
1) 12^(1-x) / 3^(x+1)= rad 4^(1+3x) / 6^(2+x)
2) 2^(x)-4^(x)-1
------------------------- < 0
3^(-x)-25*3^(x)

3)Log(4^(1-x)+2)-Log(2^(2x+1)-3)< Log2
Grazie!

[BIT5]

ricordando che

[math] a^{m+n} = a^m a^n [/math]

riscrivi come

[math] \frac{12 \cdot 12^{-x}}{3 \cdot 3^x} = \sqrt{ \frac{4 \cdot 4^{3x}}{6^2 6^{x}} [/math]

inoltre ricordando che

[math] a^{-m} = \frac{1}{a^m} [/math]

e che la radice equivale ad elevare a 1/2 nonche' che la radice è dsitributiva rispetto a moltiplicazione e divisione....

[math] \frac{\no{12}^4}{\no{3}^1 3^x 12^x} = \frac{\sqrt4 \sqrt{4^{3x}}}{\sqrt{6^2} \sqrt{6^x}} [/math]

quindi

[math] \frac{4}{3^x (4 \cdot 3)^x} = \frac{2 \cdot 2^{\frac{6x}{2}}}{6 \cdot 6^{ \frac{x}{2}}} [/math]

e quindi

[math] \frac{4}{3^x4^x3^x} = \frac{2^{3x}}{3 \cdot (3 \cdot 2)^{\frac{x}{2}}} [/math]

sapendo che

[math] 3^x \cdot 3^x = 3^{x+x} = 3^{2x} [/math]

[math] \frac{4}{3^{2x}2^{2x}} = \frac{2^{3x}}{3 \cdot 3^{\frac{x}{2}} 2^ { \frac{x}{2}}} [/math]

a questo punto, al denominatore di destra, potrai riscrivere

[math] 3 \cdot 3^{\frac{x}{2}} = 3^{1+ \frac{x}{2}} = 3^{\frac{2+x}{2}} [/math]

avrai dunque

[math] \frac{4}{3^{2x}2^{2x}} = \frac{2^{3x}}{3^{\frac{2+x}{2}}2^{\frac{x}{2}}} [/math]

ora minimo comune denominatore e puoi concludere :)

[ale92_ale]

grazie mille!
comunque scusa ma ho sbagliato a scrivere il testo del primo esercizio

[math] \frac{12 \cdot 12^{-x}}{3 \cdot 3^x} = \frac {4^{1+3x/2}}{6^2 6^{x}} [/math]

radice riguarda solo 4^(1+3x) quindi sarebbe 2^(1+3x) giusto?

Ho provato a risolvere l'equazione ma non riesco ad andare avanti..

sono arrivata qui

[math] \frac{4}{3^{2x}2^{2x}} = \frac{2^{3x}}{6^{x+1}* 3} [/math]

il denominatore del secondo termine non riesco a scriverlo bene...
.è 6^(x+1) * 3

Grazie!
non

[BIT5]

[math] \frac{12 \cdot 12^{-x}}{3 \cdot 3^x} = \frac{ \sqrt{4 \cdot 4^{3x}}}{6^2 6^{x}} [/math]

da cui

[math] \frac{4 \cdot 3}{3 \cdot 3^x \cdot 12^x} = \frac{\sqrt{4^{3x+1}}}{6^{2+x}} [/math]

quindi

[math] \frac{4}{3^x \cdot (4 \cdot 3)^x} = \frac{ 2 \sqrt{4^{3x}}}{(3 \cdot 2)^{2+x}} [/math]

E siccome

[math] \sqrt{4^{3x}} = \( 2^2 \)^{\frac{3x}{2}} = 2^{3x} [/math]

avrai

[math] \frac{4}{3^{2x} \cdot 4^x} = \frac{2 \cdot 2^{3x}}{3^2 \cdot 3^x \cdot 2^2 \cdot 2^x} [/math]

semplificando 2 e 2^2 (= 1/2) e 2^(3x) con 2^x (avrai 2^(2x)) e riscrivendo 4^x = 2^(2x) otterrai

[math] \frac{2^2}{3^{2x} \cdot 2^{2x}} = \frac{2^{2x}}{3^2 \cdot 3^x \cdot 2} [/math]

minimo comune multiplo sara'

[math] 2 \cdot 9 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x} [/math]

quindi

[math] \frac{2^2 \cdot 9 \cdot 2}{2 \cdot 9 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x}} = \frac{2^{2x} \cdot 3^x \cdot 2^{2x}}{2 \cdot 9 \cdot 2^{2x} \cdot 3^{2x}} [/math]

da cui

[math] 2^3 \cdot 9 = 2^{4x} \cdot 3^x [/math]

e quindi

[math] \frac{9}{3^x} = \frac{2^{4x}}{2^3} [/math]

ovvero

[math] 3^{2-x} = 2^{4x-3} [/math]

e quindi

[math] \log \(3^{2- x} \) = \log \(2^{4x-3} \) [/math]

quindi

[math] (2-x) \log 3 = (4x-3) \log 2 [/math]

e ancora

[math] 2 \log 3 - x \log 3 = 4x \log 2 - 3 \log 2 [/math]

otterrai

[math] 2 \log 3 + 3 \log 2 = 4x \log 2 + x \log 3 [/math]

a destra raccogli x e applichi la proprieta' del logaritmo a log b = log b^a

[math] \log 3^2 + \log 2^3 = x \( \log 2^4 + \log 3 \) [/math]

e quindi

[math] x= \frac{ \log 3^2 + \log 2^3}{\log 2^4 + \log 3} [/math]

Spero di non aver fatto errori....

[ale92_ale]

Grazie! L'esercizio riporta :D
ma non ho capito una cosa

perchè semplificando 2^(3x) con 2^x (avrò 2^(2x)) ?
se ho 2^(3x) / 2^(x)= 2 ^(3x-x) e non 2^(3x-x) / 2...

Poi potresti aiutarmi anche a risolvere gli altri esercizi
Grazie

[BIT5]

certo...

Infatti nella mia semplificazione, ho semplificato 2^(3x) con 2^x ottenendo, come hai fatto tu, 2^(2x)

ma ci sono anche un 2^2 al denominatore e un 2 al numeratore, che si semplificano lasciando un 2 al denominatore.

[math] \frac{2 \cdot 2^{3x}}{2^2 \cdot 2^x} [/math]

(ho omesso i 3 con i relativi esponenti)

quindi

[math] \frac{ \no{2}^1}{2^{\no{2}^1}} \cdot 2^{(3x-x)} = \frac12 \cdot 2^{2x} = \frac{2^{2x}}{2} [/math]

[ale92_ale]

Grazie! non avevo calcolato il 2^2 al denominatore!
Grazie mille!
invece riguardo gli altri esercizi

Log(4^(1-x)+2)-Log(2^(2x+1)-3)< Log2
non mi riporta... secondo le condizioni di accetabilità x dovrebbe essere >0

però poi risolvendo la disequazione mi vengono due soluzioni..una non è accettabile e l'altra è 2.
Sul libro come soluzione viene data 2 ,,,,però x> 2... non capisco..

Grazie