Equazioni differenziali necessito aiuto

[tedo90]

Ciao a tutti ragazzi, sono nuovo, vi saluto mi chiamo Andrea... sono in 5 superiore ITIS e domani ho la simulazione di terza prova,per quanto riguarda la matematica gli argomenti saranno eq. diff. 1 e secondo ordine omogenee e non omogenee.. Riguardo le eq. differenziali del 2° ordine mi trovo benissimo, stranamente... Trovo invece dei problemi in quelle del primo ordine...

1) Come faccio, nelle equazioni di primo ordine a distinguere quelle omogenee(risolvibili a variabili separabili) da quelle non omogenee( risolvibili tramite il formulone e^A(x) ecc....) ??????

2) ad esempio un eq. diff del tipo: y'-2y=8 in che modo devo risolverla????


Vi ringrazio:)

[dissonance]

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[tedo90]

up

[dissonance]

Grazie per avere modificato il titolo; tuttavia ti informo che è necessario aspettare sempre almeno 24 ore prima di poter fare un "up". Non stai ricevendo aiuto anche perché hai postato nella sezione sbagliata: questo post sta meglio in "Secondaria II° grado", dove sposto.

Comunque la risposta alle tue domande è molto semplice. Una equazione differenziale lineare si dice omogenea se è della forma

$a_n(x)y^((n))+...+a_1(x)y=0$, quindi se ogni monomio contiene almeno una potenza della $y$. Per intenderci, l'equazione

$y'=y$ è omogenea, mentre

$y'=y+1$ non è omogenea, perché c'è un monomio $1$ che non contiene potenze della $y$.
Stesso discorso per $y'=y+x$, ad esempio.

Anche l'equazione della tua seconda domanda non è omogenea.

[gugo82]

1) Quelle omogenee sono equazioni del tipo:

[tex]$y^\prime +a(x)\ y=0$[/tex];

quelle non omogenee del tipo:

[tex]$y^\prime +a(x)\ y =b(x)$[/tex]

con [tex]$a,b$[/tex] funzioni assegnate (le quali possono essere anche costanti, come nell'esempio che tu riporti); la funzione [tex]$b$[/tex] è detta termine noto dell'equazione.
Insomma, se il termine noto è nullo l'equazione è omogenea; altrimenti non lo è.

2) Credo tu conosca il "formulone", quindi puoi applicare quello.

Oppure puoi fare un piccolo "trucco": infatti portando quell'otto a primo membro e raggruppando un po' ottieni [tex]$y^\prime -2(y+4)=0$[/tex]; ora osservi che la derivata di [tex]$y+4$[/tex] è [tex]$y^\prime$[/tex], quindi si può scrivere l'equazione come:

[tex]$(y+4)^\prime -2(y+4)=0$[/tex]

la quale, con la sostituzione [tex]$z=y+4$[/tex], diventa omogenea:

[tex]$z^\prime -2z=0$[/tex]

e si risolve a colpo d'occhio (o separando le variabili), trovando [tex]$z=c\ e^{2x}$[/tex] con [tex]$c\in \mathbb{R}$[/tex] costante arbitraria d'integrazione. Per tornare all'incognita [tex]$y$[/tex] ti basta sostituire [tex]$z=y+4$[/tex] in quanto hai appena trovato, così da ottenere:

[tex]$y=-4+c\ e^{2x}$[/tex]

che è l'integrale generale dell'equazione di partenza.


P.S.: Scrivevo contemporaneamente a dissonance... Insomma c'è stata consonance stavolta!