Equazioni differenziali e Fisica
Buonasera ragazzi,
Il problema è il seguente:
Le armature di un condensatore di capacità \(\displaystyle C = 10^{-4} F \) sono inizialmente cariche con una quantità di carica \(\displaystyle q_0 \) = \(\displaystyle 10^{-2} \) C. Determina il valore della carica q presente sul condensatore al variare del tempo t, se si collegano le armature del condensatore con un conduttore di resistenza \(\displaystyle R= 10 \Omega \).
La formula da utilizzare, consigliata, è:
\(\displaystyle \frac{q}{C} = - R \frac{dq}{dt}\).
La soluzione: \(\displaystyle q = \frac{e^{-10^3t}}{100} \).
Applicando la formula consigliata, trovo l'equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea: \(\displaystyle q'+1000q=0 \).
Risolvendola, trovo: \(\displaystyle q = k e^{-10^3t} \). Nel mio caso, la costante k è \(\displaystyle q_0 \) = \(\displaystyle 10^{-2} \), quindi mettendo quel valore assegnato trovo la soluzione del problema.
Corretto? Mi aiutate a capire perchè il mio k è \(\displaystyle q_0 \)? Grazie mille!
Il problema è il seguente:
Le armature di un condensatore di capacità \(\displaystyle C = 10^{-4} F \) sono inizialmente cariche con una quantità di carica \(\displaystyle q_0 \) = \(\displaystyle 10^{-2} \) C. Determina il valore della carica q presente sul condensatore al variare del tempo t, se si collegano le armature del condensatore con un conduttore di resistenza \(\displaystyle R= 10 \Omega \).
La formula da utilizzare, consigliata, è:
\(\displaystyle \frac{q}{C} = - R \frac{dq}{dt}\).
La soluzione: \(\displaystyle q = \frac{e^{-10^3t}}{100} \).
Applicando la formula consigliata, trovo l'equazione differenziale lineare del primo ordine omogenea: \(\displaystyle q'+1000q=0 \).
Risolvendola, trovo: \(\displaystyle q = k e^{-10^3t} \). Nel mio caso, la costante k è \(\displaystyle q_0 \) = \(\displaystyle 10^{-2} \), quindi mettendo quel valore assegnato trovo la soluzione del problema.
Corretto? Mi aiutate a capire perchè il mio k è \(\displaystyle q_0 \)? Grazie mille!
Risposte
Per $t = 0$ l'esponenziale vale 1 e risulta $q(0) = q_0 = k$.
O forse non ho capito la domanda...
O forse non ho capito la domanda...
Esattamente quello, mr! Grazie mille. E' una sorta di problema di Cauchy?
In pratica, quella è una condizione iniziale: \(\displaystyle q(0) = 10^{-2} \)
In pratica, quella è una condizione iniziale: \(\displaystyle q(0) = 10^{-2} \)
"Dragonlord":
In pratica, quella è una condizione iniziale: \(\displaystyle q(0) = 10^{-2} \)
Sì certo
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