Equazioni di secondo grado e discriminante negativo

[gundamrx91-votailprof]

Sto cercando di risolvere questo esercizio:

scrivere nella forma $a[(x+ \beta)^2+\gamma^2]$ le equazioni con discriminante negativo.

Da quello che so, in caso di discriminante negativo, posso scrivere l'equazione di secondo grado nella forma:

$ax^2+bx+c=a[(x+b/(2a))^2 + k^2)$ dove k dovrebbe essere $((b^2-4ac)/(4a^2))$, solo che il risultati sono diversi da quelli richiesti.

L'esempio in questione e' $x^2+x+1$ che a me viene come risultato $(x+1/2)^2+3/4$ contro il $(x+1/2)^2+(sqrt(3)/2)^2$

Cosa non ho capito??

[@melia]

"GundamRX91":Cosa non ho capito??

Hai capito tutto, ti manca solo l'ultimo passo: scrivere $3/4$ come quadrato, infatti $(sqrt3/2)^2=3/4$

[gundamrx91-votailprof]

ops....ok, intanto ti ringrazio amelia Domani mattina provo anche gli altri esercizi e poi ti faccio sapere, ora morfeo mi attende....

[gundamrx91-votailprof]

Ciao @melia, anche gli altri esercizi sono andati bene
Ora pero' ce n'e' un altro che mi dà da pensare
Devo risolvere questa disequazione:

$x^2+\lambdax+1=|\lambdax-1|$

Io sono partito dall'assunto che devo prima risolvere il modulo $|\lambdax-1|$ da cui ottengo i due casi:

$|\lambdax-1|=\lambdax-1$ se $\lambdax-1>=0$ oppure
$|\lambdax-1|=-(\lambdax-1)$ se $\lambdax-1<=0$

in entrambi i casi ottengo che $x=1/\lambda$

ora provo a risolvere la disequazione di secondo grado:

$x^2+\lambdax+1<\lambdax-1$
$x^2+\lambdax+1-\lambdax+1<0$
$x^2+2<0$

da cui si vede che $\Delta<0$

A questo punto pero' credo di essermi "perso", perche' la soluzione del libro e':

per $\lambda>0, -2\lambda

Cita

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[leena1]

"GundamRX91":$x^2+\lambdax+1=|\lambdax-1|$

Io sono partito dall'assunto che devo prima risolvere il modulo $|\lambdax-1|$ da cui ottengo i due casi:

$|\lambdax-1|=\lambdax-1$ se $\lambdax-1>=0$ oppure
$|\lambdax-1|=-(\lambdax-1)$ se $\lambdax-1<=0$

in entrambi i casi ottengo che $x=1/\lambda$

Devi prima risolvere rispetto alla x le disequazioni $\lambdax-1>=0$ e $\lambdax-1<=0$ e fare distinzione per $\lambda>0$ e $\lambda<0$ perché nel secondo caso il segno della disequazione cambia

[gundamrx91-votailprof]

aspetta, ho sbagliato a scrivere in quanto e' $x^2+\lambdax+1<|\lambdax-1|$

anche se forse il succo del discorso non cambia... ma non ottengo in ogni caso i valori $x>=1/\lambda$ e $x<=1/\lambda$ ?

O intendi che successivamente avrei i due casi:
1) $x^2+\lambdax+1<\lambdax-1$
2) $x^2+\lambdax+1> - \lambdax+1$

?

[leena1]

Allora per prima cosa dividiamo i due casi:

A) $|\lambdax-1|=\lambdax-1$ se $\lambdax-1>=0$
B) $|\lambdax-1|=-(\lambdax-1)$ se $\lambdax-1<=0$

CASO A

$\lambdax-1>=0$
diventa
$x>=1/\lambda$ se $\lambda>0$
$x<1/\lambda$ se $\lambda<0$ (se dividi per un numero negativo il segno della disequazione cambia..)

CASO B
$\lambdax-1<=0$
diventa
$x<=1/\lambda$ se $\lambda>0$
$x>=1/\lambda$ se $\lambda<0$ (se dividi per un numero negativo il segno della disequazione cambia..)

[leena1]

Forse per un ragionamento più lineare ti conviene fare dal primo momento la divisione dei due casi per $\lambda$ e poi risolvere il valore assoluto

[gundamrx91-votailprof]

Allora, vediamo se ho capito

$x^2+\lambdax+1<|\lambdax-1|$

prendo prima in considerazione il modulo (son duro ehhhh), da cui ho i due casi:

$|\lambdax-1|=\lambdax-1$ se $\lambdax-1>=0$ ; $x>=1/\lambda$
$|\lambdax-1|=-\lambdax+1$ se $\lambdax-1<=0$ ; $x<=1/\lambda$

nel primo caso ottengo:

$x^2+\lambdax+1<\lambdax-1$
$x^2+2<0$ che mi fornisce un $\Delta=-8$, quindi negativo, da cui nessun soluzione reale

nel secondo caso invece ottengo:

$x^2+\lambdax+1<-\lambdax+1$
$x^2+2\lambdax<0$
$x(x+2\lambda)<0$

da cui $x<0$ e $x+2\lambda<0$ , $x<-2\lambda$

a questo punto se $\lambda=0$ arrivo al risultato di $x^2<0$ da cui NESSUNA SOLUZIONE
se $\lambda>0$ ho $-2\lambda se $\lambda<0$ ho $x>-2\lambda$ da cui $0
spero di non aver fatto confusione...

[leena1]

"GundamRX91":$|\lambdax-1|=\lambdax-1$ se $\lambdax-1>=0$ ; $x>=1/\lambda$
$|\lambdax-1|=-\lambdax+1$ se $\lambdax-1<=0$ ; $x<=1/\lambda$

Già qui stai supponendo $\lambda>0$ perché altrimenti le disequazioni non verrebbero così