Equazioni di secondo grado

[Duch1]

Ciao!
Ho dei problemi con questo esercizio!


DETERMINARE PER QUALI VALORI DI b L'EQUAZIONE
x²-2(b-1)x+b+5=0
AMMETTE:
-radici reciproche; [-4]
-radici tali che la somma dei loro quadrati sia 30. [-2; 9/2]


Non ho capito come si fanno! Vi ringrazio in anticipo!
Ciao ciao

[goblyn]

Per ogni equazione di secondo grado

ax^2 + bx + c = 0

dette x1 e x2 le due radici (se ci sono), valgono le seguenti:

x1+x2 = -b/a
x1*x2=c/a


Nel nostro caso:

radici reciproche==>x1=1/x2

Quindi:

x1*x2=(1/x2)*x2=1

Ma il prodotto delle radici dev'essere = c/a:

1 = b+5

da cui

b=-4

La seconda domanda chiede che x1^2+x2^2 = 30

Noi sappiamo che

(x1+x2)=2(b-1)

quindi, elevando al quadrato:

(x1+x2)^2=4(b-1)^2

x1^2 + x2^2 + 2x1x2 = 4b^2 - 8b + 4

x1^2 + x2^2 = -2x1x2 + 4b^2 - 8b + 4

Il prodotto x1*x2 che c'è a secondo membro deve valere b+5. Sostituiamo:

x1^2 + x2^2 = -2(b+5) + 4b^2 - 8b + 4

x1^2 + x2^2 = 4b^2 -10b - 6

Sapendo che la somma dei quadrati fa 30 possiamo scrivere:

30 = 4b^2 -10b -6

4b^2 -10b -36 = 0

2b^2 - 5b - 18 = 0

delta= 25+144 = 169

b = (5+-13)/4

cioè:

b=-2 vel b=9/2





Modificato da - goblyn il 14/01/2004 15:59:35

[Duch1]

Ahh, ho capito! Basta fare il sistema, e il gioco è fatto!
Grazie mille! Ora faccio anche gli altri esercizi per vedere se li ho capiti!
Ciao e grazie ancora!

[Duch1]

Ho fatto altri esercizi: posso dire che ho capito come funzionano le cose, e la maggiorparte mi riescono, però... questa no!


nell'equazione
(m+2)x²-(m-1)x+m+2=0
determinare k in modo che sia:
(1/x1+1)+(1/x2+1)=1
[m diverso da -2]

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N.B.: x1 e x2 sono le due soluzioni, scusatemi ma non riesco a scrivere i numeretti in modalità pedice!
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Quando la risolvo, mi viene fuori un'equazione indeterminata! Una strana coincidenza: la discussione viene uguale al risulato! Mah...
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Grazie! Ciao.

[Sk_Anonymous]

Si ha :
1/(x1+1)+1/(x2+1)=(x1+x2+2)/((1+x1)(1+x2))=
(x1+x2+2)/(1+x1+x2+x1*x2).
Ora :
x1*x2=c/a=1 e sostituendo nella relazione data risulta:
(x1+x2+2)/(x1+x2+2)=1
ovvero si ha l'dentita' 1=1 che e' verificata qualunque sia
il valore di m ,purche diverso da -2 per il quale valore
perdono significato sia la somma che il prodotto
delle radici (del resto per m=-2 l'equazione si riduce al primo
grado 3x=0).
karl.



Modificato da - karl il 16/01/2004 14:13:20