Equazioni di grado qualunque---radice unica
ul nostro libro di matematica finanziaria è riportata la seguente
definizione:" Un'equazione algebrica di grado qualunque ammette un'unica
radice reale e positiva, se la successione dei coefficienti cambia segno una
volta sola".
ad es.
102x^5 + 2x^4+2x^3+2x^2+2x-104=0
1) qualcuno mi puo' spiegare tale definizione eventualmente sulla base della sopra-riportata equazione?
2) ed eventualemnte sviluppare (con tutti i passaggi) l'equazione suddetta?
Grazie in anticipo
definizione:" Un'equazione algebrica di grado qualunque ammette un'unica
radice reale e positiva, se la successione dei coefficienti cambia segno una
volta sola".
ad es.
102x^5 + 2x^4+2x^3+2x^2+2x-104=0
1) qualcuno mi puo' spiegare tale definizione eventualmente sulla base della sopra-riportata equazione?
2) ed eventualemnte sviluppare (con tutti i passaggi) l'equazione suddetta?
Grazie in anticipo
Risposte
I cambiamenti di segno, di cui si parla nell'enunciato,
sono quelli che si hanno quando,nella successione
dei coefficienti,si passa da un coefficiente positivo
ad uno negativo o viceversa.Nel caso nostro vi e'
una sola variazione di segno tra il penultimo
termine +2x e l'ultimo -104.
Il teorema di Cartesio afferma che il numero delle radici
reali positive di un'equazione algebrica (a coefficienti reali)
e' uguale al numero dei cambiamenti di segno
(detti anche VARIAZIONI ) che si hanno nella successione
dei coefficienti, oppure e' inferiore a questo numero
per un numero pari.Allora e' chiaro che ,se l'equazione
presenta UNA SOLA VARIAZIONE ,vi sara' una sola radice
reale positiva, non esistendo nessun numero positivo
che sia inferiore ad 1 e differisca da questo di un numero pari.
karl.
sono quelli che si hanno quando,nella successione
dei coefficienti,si passa da un coefficiente positivo
ad uno negativo o viceversa.Nel caso nostro vi e'
una sola variazione di segno tra il penultimo
termine +2x e l'ultimo -104.
Il teorema di Cartesio afferma che il numero delle radici
reali positive di un'equazione algebrica (a coefficienti reali)
e' uguale al numero dei cambiamenti di segno
(detti anche VARIAZIONI ) che si hanno nella successione
dei coefficienti, oppure e' inferiore a questo numero
per un numero pari.Allora e' chiaro che ,se l'equazione
presenta UNA SOLA VARIAZIONE ,vi sara' una sola radice
reale positiva, non esistendo nessun numero positivo
che sia inferiore ad 1 e differisca da questo di un numero pari.
karl.
sono sempre più comnvinto che karl sia un'algebrista! non è da tutti conoscere il teorema delle variazioni di Cartesio.
p.s. caro Emilu, quello che tu hai scritto è un teorema, anzi, per essere precisi, un corollario, e non una definizione. c'è una notevolissima differenza!!
ciao, ubermensch
p.s. caro Emilu, quello che tu hai scritto è un teorema, anzi, per essere precisi, un corollario, e non una definizione. c'è una notevolissima differenza!!
ciao, ubermensch
Senza voler nulla togliere ai molti meriti di karl,se non ricordo male, il teorema delle variazioni di Cartesio si studiava in seconda liceo scientifico .
non ricordo d'averlo studiato... forse mi sbaglio.. forse è più importante e famoso di quello che penso...
pensare che al liceo pensavo che il teorema di lagrange sulle derivate fosse poco di più che una curiosità... e invece il mio professore l'ha chiamato niente di meno che "teorema fondamentale del calcolo differenziale" da cui derivano un bel pò di cose..
ciao, ubermensch
pensare che al liceo pensavo che il teorema di lagrange sulle derivate fosse poco di più che una curiosità... e invece il mio professore l'ha chiamato niente di meno che "teorema fondamentale del calcolo differenziale" da cui derivano un bel pò di cose..
ciao, ubermensch
Secondo me Karl è un Prof. di matematica e/o fisica di liceo.
Non ce lo dirà mai... Anche se, devo dirlo, sono curiosissimo di saperlo...
già!...
Il teorema di Cartesio, cosi come si studia
al liceo ,riguarda solo le equazioni di secondo
grado o al piu' quelle biquadratiche e manca dello
inciso "oppure e' inferiore a questo numero
per un numero pari" che rende l'enunciato
assai piu' generale.Per esempio se applichiamo
il teorema di Cartesio ,nella sua formulazione
elementare,all'equazione x^4+5x^3-2x+2=0
si dovrebbe concludere che essa ha 2 radici positive
mentre e' facile vedere che ha due radici immaginarie
e due negative (x1=-1 e x2 in ]-6,-4[).L'enunciato
piu' generale aggiusta le cose ,proprio per la
presenza di quell'inciso.
Mi scuso per la (piccola) indiretta polemica con
Camillo del quale ricambio la stima.Del resto
potrei sbagliare, come fa un prof. ...o un qualunque
altro appassionato di matematica.
karl.
al liceo ,riguarda solo le equazioni di secondo
grado o al piu' quelle biquadratiche e manca dello
inciso "oppure e' inferiore a questo numero
per un numero pari" che rende l'enunciato
assai piu' generale.Per esempio se applichiamo
il teorema di Cartesio ,nella sua formulazione
elementare,all'equazione x^4+5x^3-2x+2=0
si dovrebbe concludere che essa ha 2 radici positive
mentre e' facile vedere che ha due radici immaginarie
e due negative (x1=-1 e x2 in ]-6,-4[).L'enunciato
piu' generale aggiusta le cose ,proprio per la
presenza di quell'inciso.
Mi scuso per la (piccola) indiretta polemica con
Camillo del quale ricambio la stima.Del resto
potrei sbagliare, come fa un prof. ...o un qualunque
altro appassionato di matematica.
karl.
Veramente io non intendevo fare nessuna polemica, men che meno con te, karl : volevo solo rammentare a ubermensch che il teorema di Cartesio lo si studia al Liceo, anche se nella forma più semplice e certamente non in quella più completa da te indicata in grassetto e che forse ho letto troppo affrettatamente per valutarne appieno l'importanza.
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 27/03/2004 22:39:44
ciao
Camillo
Modificato da - camillo il 27/03/2004 22:39:44
Penso che l'inciso " oppure è inferiore a questo numero per un numero pari" sia dovuto alla eventuale presenza di radici complesse che in effetti vanno sempre in coppia nel senso che se una equazione algebrica ha una radice complessa , allora è radice anche la complessa coniugata .
Corretto ?
Corretto ?
Non sembra che l'inciso sia legato alla
presenza di radici immaginarie.Per es.
l'equazione x^4-2x^3-x+2=0 ha due radici
immaginarie e due reali positive (x1=1,x2=2)
esattamente quante sono le variazioni presenti
nell'equazione.Il teorema di Cartesio ,nella
sua forma piu' generale,offre due possibilita'
senza tuttavia indicare qual e' quella giusta.
Sta al risolutore operare una scelta (da fare,
ovviamente,con altri mezzi).
Saluti da karl.
presenza di radici immaginarie.Per es.
l'equazione x^4-2x^3-x+2=0 ha due radici
immaginarie e due reali positive (x1=1,x2=2)
esattamente quante sono le variazioni presenti
nell'equazione.Il teorema di Cartesio ,nella
sua forma piu' generale,offre due possibilita'
senza tuttavia indicare qual e' quella giusta.
Sta al risolutore operare una scelta (da fare,
ovviamente,con altri mezzi).
Saluti da karl.
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