Equazioni con il valore assoluto
raga mi risolvete queste quattro equazioni?:
| x^2 - 5x + 4 | = 2
| 3x - 5 | = x + 1
| x^2 + 1 | = x - 2
| x - 1| + | 2x + 3 | = x
grazie in anticipo
| x^2 - 5x + 4 | = 2
| 3x - 5 | = x + 1
| x^2 + 1 | = x - 2
| x - 1| + | 2x + 3 | = x
grazie in anticipo
Risposte
[math]|x^2 - 5x + 4| = 2[/math]
Allora, innanzitutto diciamo ke il valore assoluto di un numero sarebbe quel numero considerato senza segno:
[math]|+2| = 2[/math]
[math]|-5| = 5[/math]
[math]|-\frac78| = \frac78[/math]
Un numero senza segno è normalmente considerato positivo, pertanto si dice che la funzione valore assoluto trasforma tutti i numeri in positivi.
Questo diventa semplice quando operiamo con i numeri, ma diventa eggermente più complesso quando si hanno parametri o incognite, come avviene in qst caso.
Poichè le incognite non le conosciamo (altrimenti non si kiamerebbero incognite), non sappiamo ke segno dargli.
[math]|x|[/math]
Dal momento ke non sappiamo se la
[math]x[/math]
sia un numero positivo o negativo, non possiamo procedere normalmente.Se la x assumesse il valore
[math]x=3[/math]
non ci sarebbero problemi in quanto[math]|3|=3[/math]
e cioè [math]|x|=x[/math]
Ma se l'incognita
[math]x[/math]
assumesse invece un valore negativo [math]x=-4[/math]
avremo che[math]|-4| = 4[/math]
e cioè [math]|x| = -x[/math]
Pertanto arriviamo alla conclusione che quando abbiamo un parametro o un'incognita dobbiamo considerare due casi:
- Quello nel quale
[math]f(x)\geq0[/math]
[I termini dentro al valore assoluto, poichè [math]f(x)\geq0[/math]
manterranno gli stessi segni]- Quello nel quale [math]f(x)
Aleio, perdonami, ma quello che hai detto non è corretto, soprattutto per quanto riguarda la soluzione!
Allora, in generale, quando si ha a che fare con una equazione del tipo
la soluzione si trova risolvendo i due sistemi
e
Detto questo, possiamo risolvere le equazioni date.
Equazione 1)
Per la disequazione, essendo le radici
la soluzione è
cioè
L'altro sistema è
[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2-5x+4
Allora, in generale, quando si ha a che fare con una equazione del tipo
[math]|f(x)|=g(x)[/math]
la soluzione si trova risolvendo i due sistemi
[math]\left\{\begin{array}{l}
f(x)\geq 0\\
f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]
f(x)\geq 0\\
f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]
e
[math]\left\{\begin{array}{l}
f(x)< 0\\
-f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]
f(x)< 0\\
-f(x)=g(x)
\end{array}\right.[/math]
Detto questo, possiamo risolvere le equazioni date.
Equazione 1)
[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2-5x+4\geq 0\\
x^2-5x+2=0
\end{array}\right.[/math]
x^2-5x+4\geq 0\\
x^2-5x+2=0
\end{array}\right.[/math]
Per la disequazione, essendo le radici
[math]x_{1/2}=\frac{5\pm\sqrt{25-16}}{2}=\frac{5\pm 3}{2}\Rightarrow x_1=1,x_2=4[/math]
la soluzione è
[math]x\leq 1, x\geq 4[/math]
. L'equazione invece ha come radici[math]x_{1/2}=\frac{5\pm\sqrt{25-8}}{2}=\frac{5\pm\sqrt{17}}{2}[/math]
cioè
[math]x_1\equiv -0,4, x_2\equiv 4,5[/math]
. Entrambe le radici appartengono all'intervallo dato dalla disequazione e sono quindi accettabili.L'altro sistema è
[math]\left\{\begin{array}{l}
x^2-5x+4
Ciampax...kiedo venia...ho corretto sopra...nn so a k pensavo qnd ho fatto l'esercizio...solo k oggi sn stankissimo k ieri sn andato a bari a vedè la nazionale...sn tornato a casa a Cosenza alle 2 di notte e stamattina pure a skuola...:D skusa ankora e grazie x avermi avvisato:)
Di niente! Faccio solo il mio lavoro!
lo so che sei bravo, anzi! Mi fa piacere vedere che ti piaccia tanto la matematica!
Ci si sente!
lo so che sei bravo, anzi! Mi fa piacere vedere che ti piaccia tanto la matematica!
Ci si sente!
ok grazie aspetto con veemenza le altre due equazioni :lol:
Equazione 3)
Poiché
cioè
le cui soluzioni sono
e cioè nessuna radice reale, poiché il discriminante è negativo.
Equazione 4)
Qua bisogna ragionare un po'. Stavolta l'equazione contine 2 valori assoluti, ognuno dei quali può essere positivo o negativo, il che vuol dire che bisogna studiare 4 casi:
1) entrambi positivi, 2) entrambi negativi, 3) il primo positivo e il secondo negativo, 4) il primo negativo e il secondo negativo.
Vediamo di analizzare prima quali sono gli intervalli in cui cercare le soluzioni e poi risolviamo le equazioni.
1) dobbiamo avere
cioè
quindi deve essere
2) in questo caso, essendo
abbiamo [math]x
Poiché
[math]x^2+1>0[/math]
l'unica possibilità è risolvere l'equazione[math]x^2+1=x-2[/math]
cioè
[math]x^2-x+3=0[/math]
le cui soluzioni sono
[math]x_{1/2}=\frac{1\pm\sqrt{1-12}}{2}=\frac{1\pm\sqrt{-11}}{2}[/math]
e cioè nessuna radice reale, poiché il discriminante è negativo.
Equazione 4)
Qua bisogna ragionare un po'. Stavolta l'equazione contine 2 valori assoluti, ognuno dei quali può essere positivo o negativo, il che vuol dire che bisogna studiare 4 casi:
1) entrambi positivi, 2) entrambi negativi, 3) il primo positivo e il secondo negativo, 4) il primo negativo e il secondo negativo.
Vediamo di analizzare prima quali sono gli intervalli in cui cercare le soluzioni e poi risolviamo le equazioni.
1) dobbiamo avere
[math]x-1\geq 0\textrm{ e } 2x+3\geq 0[/math]
cioè
[math]x\geq 1\textrm{ e } x\geq -3/2[/math]
quindi deve essere
[math]x\geq 1[/math]
(mettendo a sistema le precedenti).2) in questo caso, essendo
[math]x< 1\textrm{ e } x< -3/2[/math]
abbiamo [math]x
In pratica quando hai due moduli e non uno solo, all'inizio studi il segno dei moduli maggiore di 0 e fai il grafico, così da ottenere i 3 intervalli in cui potrebbero esserci le soluzioni (non ci sono 4 casi come si potrebbe dedurre, perchè uno è sicuramente da scartare)! Una volta individuate le 3 possibili situazioni, svolgi i conti, cambiando di segno e seguendo le condizioni poste. Alla fine dici se accettare o no le eventuali soluzioni!
Mi spiace, Gaara, ma quello che dici è falso! :lol
Non ci credi? Te ne dò un esempio: prova a risolvere l'equazione
e dimmi quanti casi ti vengono fuori!
Ci si sente!
Non ci credi? Te ne dò un esempio: prova a risolvere l'equazione
[math]|x^2-1|+|x|=0[/math]
e dimmi quanti casi ti vengono fuori!
Ci si sente!
Io parlavo di quando, dentro al modulo, ci sono polinomi di primo grado...come in questo ;):
L'esempio che hai portato tu non l'avevo nemmeno considerato...mea culpa :lol!!!
[math]
| x - 1| + | 2x + 3 | = x
[/math]
| x - 1| + | 2x + 3 | = x
[/math]
L'esempio che hai portato tu non l'avevo nemmeno considerato...mea culpa :lol!!!
Ciampax...devo correggerti...il fatto ke vengano quattro intervalli è superfluo se due di questi sono uguali.
Nell'esempio considerato
considerando il primo valore assoluto si ha:
considerando il secondo si ha:
Riassumendo i vari casi si ottengono quattro intervalli
Tuttavia i casi sono solo apparentemente 4. Infatti il primo ed il terzo caso rappresentano la stessa "realtà"....provare x credere....
Nell'esempio considerato
[math]|x^2-1|+|x| = 0[/math]
considerando il primo valore assoluto si ha:
[math]x^2-1\geq0 ==>x\leq-1[/math]
V [math]x\geq1[/math]
considerando il secondo si ha:
[math] x\geq0[/math]
Riassumendo i vari casi si ottengono quattro intervalli
[math]\left\{\begin{array}{l}
x\leq-1 f_1(x)0\\
-1\leq x\leq0 f_1(x) 0\end{array}\right.[/math]
x\leq-1 f_1(x)0\\
-1\leq x\leq0 f_1(x) 0\end{array}\right.[/math]
Tuttavia i casi sono solo apparentemente 4. Infatti il primo ed il terzo caso rappresentano la stessa "realtà"....provare x credere....
Che a posteriori i casi possano rappresentare la stessa cosa, può anche accadere.
Quello che intendevo io è che non puoi, a priori, decidere che sicuramente qualche caso non esiste.
In matematica "si vede" o "si sa" senza che lo si dimostri, non serve ad un cavolo!
E comunque, non ho capito cosa intendi dire con il primo e il terzo caso rappresentano la stessa realtà: gli intervalli sono diversi, no? Che poi venga fuori la stessa equazione o che si abbia la stessa situazione... beh quello non significa "lo stesso" in matematica! :lol
Ricordati sempre: prima di contraddire, pensa a quello che scrivi e dimostralo!
Ah, e un utlima cosa: le frecce dell'implicazione nel sistemone che hai scritto, vanno messe nel verso opposto! La scelta che gli argomenti nei valori assoluti siano positivi o negativi ti permettono di determinare gli intervalli. Se potessi fare direttamente il viceversa... beh, come minimo saresti un calcolatore elettronico. (più precisamente, la freccia andrebbe messa in entrambi i sensi, ma qui, per una questione pratica e di dimostrazione, quella da usare è quella nel senso opposto a quello che hai usato tu!)
Cmq, Aleio, sempre in gamba così, che se non si parla in matematica non si va da nessuna parte!
Quello che intendevo io è che non puoi, a priori, decidere che sicuramente qualche caso non esiste.
In matematica "si vede" o "si sa" senza che lo si dimostri, non serve ad un cavolo!
E comunque, non ho capito cosa intendi dire con il primo e il terzo caso rappresentano la stessa realtà: gli intervalli sono diversi, no? Che poi venga fuori la stessa equazione o che si abbia la stessa situazione... beh quello non significa "lo stesso" in matematica! :lol
Ricordati sempre: prima di contraddire, pensa a quello che scrivi e dimostralo!
Ah, e un utlima cosa: le frecce dell'implicazione nel sistemone che hai scritto, vanno messe nel verso opposto! La scelta che gli argomenti nei valori assoluti siano positivi o negativi ti permettono di determinare gli intervalli. Se potessi fare direttamente il viceversa... beh, come minimo saresti un calcolatore elettronico. (più precisamente, la freccia andrebbe messa in entrambi i sensi, ma qui, per una questione pratica e di dimostrazione, quella da usare è quella nel senso opposto a quello che hai usato tu!)
Cmq, Aleio, sempre in gamba così, che se non si parla in matematica non si va da nessuna parte!
Devo darti ragione...ti ho contestato prima solo x l'esempio proposto ke non si rifaceva al tuo avvertimento/spiegazione/intimorimento...:D per il resto ho messo le frecce in entrambi i sensi...:D...cmq grande ciampax...
io non commento ... perche non sono capace..eppure li abbiamo fatti anke noi..mah...w il licieo scientifico/sportivo..
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