Equazione trigonometrica: cos(x) = sin(3x) [Risolto]

[crisixk]

Hola

Ho bisogno di una mano con questa piccola equazione se qualcuno/a può

$\color{red}{cos(x) = sin(3x)}$

Ho provato a risolverla in 2 modi, e in entrambi trovo sempre solo una parte delle soluzioni.

le soluzioni in $[0,2\pi]$ sono (formule fornite da Geogebra CAS):

$x_1 = \frac{1}{2}k_1\pi+\frac{1}{8}\pi \to soluzioni: \color{green}{\frac{1}{8}\pi; \frac{5}{8}\pi; \frac{9}{8}\pi; \frac{13}{8}\pi}$
$x_2 = -k_2\pi-\frac{3}{4}\pi \to soluzioni: \color{green}{\frac{1}{4}\pi; \frac{5}{4}\pi}$

io trovo solo le ultime due soluzioni $\frac{1}{4}\pi; \frac{5}{4}\pi$

questi sono i miei passaggi:

$cos(x) = sin(3x)$
$cos(x) = sin(x + 2x) = sin(x) cos(2x) + cos(x) sin(2x)$
$...$
$cos(x) = -4sin^3(x)+3sin(x)$
$-4sin^3(x)+3sin(x) -cos(x) = 0$
$sin(x)(-4sin^2(x)+3) -cos(x) = 0$
$\frac{sin(x)(-4sin^2(x)+3) -cos(x)}{cos(x)} = \frac{0}{cos(x)}; cos(x)≠0$
$\frac{sin(x)(-4sin^2(x)+3)}{cos(x)} -\frac{cos(x)}{cos(x)} = 0$
$tan(x)(-4sin^2(x)+3))=1$
a questo punto mi sono detto che per essere uguale a 1, il prodotto a sinistra deve essere tra due espressioni entrambe uguali a 1, quindi ho messo a sistema e l'ho risolto:
\begin{cases}
tan(x) = 1 \\
-4sin^2(x)+3=1 & \to & sin(x) = ±\frac{\sqrt{2}}{2} \\
cos(x)≠0
\end{cases}

in alternativa ho provato a portare tutto a seno facendo i quadrati a sx e dx:

$-4sin^3(x)+3sin(x) = cos(x)$
$(-4sin^3(x)+3sin(x))^2 = cos^2(x) = 1 - sin^2(x)$
$...$
$2sin^2(x)(8sin^4(x)-12sin^2(x)+5)-1 = 0$
$t=sin^2(x)$
$2t(8t^2-12t+5)=1 \Leftrightarrow 2t = 8t^2-12t+5$

risolvendo ottengo di nuovo soltanto $x=\frac{1}{4}\pi; x=\frac{5}{4}\pi$

suggerimenti?

[anonymous_0b37e9]

"crisixk":
Ho provato a risolverla in 2 modi ...

Veramente, si tratta della classica equazione che andrebbe risolta nel modo seguente:

$cosx=sin3x rarr$

$rarr sin(\pi/2-x)=sin3x rarr$

$rarr [\pi/2-x=3x+2k\pi] vv [\pi/2-x=\pi-3x+2k\pi] rarr$

$rarr [x=\pi/8+k\pi/2] vv [x=\pi/4+k\pi]$

"crisixk":
... a questo punto mi sono detto che per essere uguale a 1, il prodotto a sinistra deve essere tra due espressioni entrambe uguali a 1 ...

Questa implicazione è manifestamente falsa. Solo per fare un esempio:

$2*1/2=1$

[crisixk]

"anonymous_0b37e9":
Veramente, si tratta della classica equazione che andrebbe risolta nel modo seguente:

$cosx=sin3x rarr$

$rarr sin(\pi/2-x)=sin3x rarr$

ecco, la mia speranza è che continuando a fare esercizi un giorno io possa vedere quell'eq. come una "classica equazione" ecc. ecc.

"anonymous_0b37e9":
Questa implicazione è manifestamente falsa. Solo per fare un esempio:

$2*1/2=1$

ops...

Grazie milleee!! Pranzo e poi provo a svolgerla come mi hai suggerito

[crisixk]

allora, ho risvolto l'esercizio...

ho capito questo:

"anonymous_0b37e9":

$[\pi/2-x=3x+2k\pi]$

ma non ho capito questo:

"anonymous_0b37e9":

$[\pi/2-x=\pi-3x+2k\pi]$

in particolare non ho capito (per mie lacune) il perché del $\pi-3x+2k\pi$

io ho svolto questi:

$sin(\frac{\pi}{2}-x)=sin(3x) rarr \frac{\pi}{2}-x = 3x rarr x = \frac{\pi}{8}$

$sin(\frac{\pi}{2}+x)=sin(3x) rarr \frac{\pi}{2}+x = 3x rarr x = \frac{\pi}{4}$

a questo punto come trovo le altre soluzioni? Mi sfugge il ragionamento alla base

[axpgn]

Se $sin(alpha)=sin(beta)$ abbiamo due casi : o $alpha=beta$ o $alpha=pi-beta$

[crisixk]

ooookkey

ora ho capito, grazie per la spiegazione