Equazione trigonometrica

[indovina]

[math] cos x + sen(120-x) +sen (150-x)=(3 +rad3)/2[/math]

non riesco proprio a farla

[ciampax]

Usa le formule di addizione e sottrazione per seno e coseno. Quindi

[math]\sin(120-x)=\sin 120\cos x-\sin x\cos 120=\frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos x+\sin x)[/math]

[math]\sin(150-x)=\sin(180-(30+x))=\sin 180\cos(30+x)-\sin(30+x)\cos 180=[/math]

[math]=\sin 30\cos x+\cos 30\sin x=\frac{1}{2}(\cos x+\sqrt{3}\sin x)[/math]

da cui sostituendo nell'equazione si trova

[math]\cos x+\frac{1}{2}(\sqrt{3}\cos x+\sin x)+\frac{1}{2}(\cos x+\sqrt{3}\sin x)=\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/math]

e quindi

[math](3+\sqrt{3})\cos x+(1+\sqrt{3})\sin x=3+\sqrt{3}[/math]

Se moltiplichi tutto per

[math]3-\sqrt{3}[/math]

l'equazione diventa, dopo un po' di semplificazioni

[math]\sqrt{3}\cos x+\sin x-\sqrt{3}=0[/math]

Tale equazione è lineare, quindi si può risolvere con la sostituzione parametrica

[math]\sin x=\frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos x=\frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad t=\tan\frac{x}{2}[/math]

L'equazione diventa allora

[math]2\sqrt{3}t^2-2t=0[/math]

le cui soluzioni sono

[math]t=0,\quad t=1/\sqrt{3}[/math]

Abbiamo allora

[math]\tan\frac{x}{2}=0\Rightarrow x/2=k\pi,\ k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\Rightarrow x=2k\pi,\ k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots[/math]

[math]\tan\frac{x}{2}=\frac{\sqrt{3}}{3}\Rightarrow x/2=\pi/3+k\pi,\ k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots\Rightarrow x=2\pi/3+2k\pi,\ k=0,\pm 1,\pm 2,\ldots[/math]

.

[indovina]

ecco ho capito nn ricordavo di usare le parametriche grazie ciao