Equazione riducibile per scomposizione
La traccia è:
Risolvi la seguente equazione riducibile per scomposizione
$ x^5-5x^3-8x^2+40=0 $
La prima soluzione che annulla l'equazione è $ x_1=2 $ e fin quì non ci sono problemi......
Poi voglio far scendere di grado l'equazione mediante Ruffini e quì sto facendo un pò di confusione.
Risolvi la seguente equazione riducibile per scomposizione
$ x^5-5x^3-8x^2+40=0 $
La prima soluzione che annulla l'equazione è $ x_1=2 $ e fin quì non ci sono problemi......
Poi voglio far scendere di grado l'equazione mediante Ruffini e quì sto facendo un pò di confusione.
Risposte
C'è un errore nel testo: dividendo per $(x-2)$ si ottiene un polinomio di quarto grado che non è ulteriormente scomponibile con Ruffini né con altri metodi facili.
Questo mi consola, perche' quando non riesco a risolvere un esercizio 
non dormo la notte. Ti ringrazio vivamente 
non dormo la notte. Ti ringrazio vivamente
Adesso provo a risolvere questa
$ x^4-4x^3+4x^2=1 $
Ma dite che questa si può risolvere iniziando in questo modo?
$ x^2(x^2-4x+4)-1=0 $
Quindi la prima soluzione è $ x^2=1 $ quindi $ x=1 $ ma potrebbe essere anche $ x=-1 $ ? Poi posso continuare con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado .......
$ x^4-4x^3+4x^2=1 $
Ma dite che questa si può risolvere iniziando in questo modo?
$ x^2(x^2-4x+4)-1=0 $
Quindi la prima soluzione è $ x^2=1 $ quindi $ x=1 $ ma potrebbe essere anche $ x=-1 $ ? Poi posso continuare con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado .......
"Bad90":
Adesso provo a risolvere questa
$ x^4-4x^3+4x^2=1 $
Ma dite che questa si può risolvere iniziando in questo modo?
$ x^2(x^2-4x+4)-1=0 $
Quindi la prima soluzione è $ x^2=1 $ quindi $ x=1 $ ma potrebbe essere anche $ x=-1 $ ? Poi posso continuare con la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado .......
Io risolverei così
$ x^4-4x^3+4x^2=1$
$ x^2(x^2-4x+4)-1=0$
$x^2(x-2)^2-1=0$
$[x(x-2)]^2-1=0$ (differenza di due quadrati)
$[x(x-2)-1][x(x-2)+1]=0$
Da cui
$x(x-2)-1=0->x^2-2x-1=0-> x_(1, 2)=1+-sqrt(2)$
o
$x(x-2)+1=0->x^2-2x+1=0->(x-1)^2=0->x=1$.
Grazie chiarotta!
Adesso sto lavorando su questa:
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
Ho pensato di risolvere il cubo di un binomio e il quadrato di un binomio, ma mi sono reso conto senza finire di risolverla che è un procedimento molto lungo che mi porta a questa:
$ 8x^5-x^4-22x^3+215x^2-400x+200=0 $
Ho notato che il testo ti induce ad utilizzare il metodo di Ruffini, infatti in alcuni esercizi guidati mi fa vedere "Ruffini". Mi chiedo come potrei risolvere questa equazione, alternativamente a Ruffini!
Ma non si potrebbe pensare a fare questo:
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
$ (2x+5)(2x+5)(2x+5)(x-1)(x-1)=0 $
Segue che le due soluzioni possono essere
$ x_1=-5/2 $
$ x_2=1 $
Vi ringrazio anticipatamente!
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
Ho pensato di risolvere il cubo di un binomio e il quadrato di un binomio, ma mi sono reso conto senza finire di risolverla che è un procedimento molto lungo che mi porta a questa:
$ 8x^5-x^4-22x^3+215x^2-400x+200=0 $
Ho notato che il testo ti induce ad utilizzare il metodo di Ruffini, infatti in alcuni esercizi guidati mi fa vedere "Ruffini". Mi chiedo come potrei risolvere questa equazione, alternativamente a Ruffini!
Ma non si potrebbe pensare a fare questo:
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
$ (2x+5)(2x+5)(2x+5)(x-1)(x-1)=0 $
Segue che le due soluzioni possono essere
$ x_1=-5/2 $
$ x_2=1 $
Vi ringrazio anticipatamente!
"Bad90":
Adesso sto lavorando su questa:
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
Ho pensato di risolvere il cubo di un binomio e il quadrato di un binomio, ma mi sono reso conto senza finire di risolverla che è un procedimento molto lungo che mi porta a questa:
$ 8x^5-x^4-22x^3+215x^2-400x+200=0 $
Ho notato che il testo ti induce ad utilizzare il metodo di Ruffini, infatti in alcuni esercizi guidati mi fa vedere "Ruffini". Mi chiedo come potrei risolvere questa equazione, alternativamente a Ruffini!
Ma non si potrebbe pensare a fare questo:
$ (2x+5)^3(x-1)^2=0 $
$ (2x+5)(2x+5)(2x+5)(x-1)(x-1)=0 $
Segue che le due soluzioni possono essere
$ x_1=-5/2 $
$ x_2=1 $
Vi ringrazio anticipatamente!
Se un prodotto ($(2x+5)^3(x-1)^2$) è uguale a $0$, allora deve essere uguale a $0$ uno dei suoi fattori.
Quindi, molto semplicemente, se
$(2x+5)^3(x-1)^2=0$,
allora, o
$(2x+5)^3=0->2x+5=0->x=-5/2$,
oppure
$(x-1)^2=0->x-1=0->x=1$.
Grazie mille, vuol dire che avevo pensato bene! Ma con Ruffini, viene lo stesso risultato? 
Sì, ma perché complicarsi la vita e perdere tempo?
Perfetto, cerchero' di utilizzare la strada piu' corta. Grazie chiarotta.
Mi chiedo... se ho una equazione del genere:
$ 24x-10x^2-4x^3=0 $
I valori di $ a $ di $ b $ e di $ c $ devo considerarli con il segno in cui compaiono nell'equazione oppure devo moltiplicare per $ -1 $ e fargli cambiare il segno a tutti i valori di $ a $ di $ b $ e di $ c $
$ 24x-10x^2-4x^3=0 $
I valori di $ a $ di $ b $ e di $ c $ devo considerarli con il segno in cui compaiono nell'equazione oppure devo moltiplicare per $ -1 $ e fargli cambiare il segno a tutti i valori di $ a $ di $ b $ e di $ c $
Puoi fare come più ti piace; è comodo che il coefficiente della $x$ al massimo esponente abbia il + e quindi conviene moltiplicare per -1. Per limitare la probabilità di errori di distrazione conviene anche scrivere il polinomio ordinato in modo decrescente e facendo entrambe le cose ottieni $4x^3+10x^2-24x=0$. Ripeto però che non c'è nessun obbligo; se per qualche strano motivo tu ritenessi conveniente lasciar le cose come stanno, è lecito.
"giammaria":
Puoi fare come più ti piace; è comodo che il coefficiente della $x$ al massimo esponente abbia il + e quindi conviene moltiplicare per -1. Per limitare la probabilità di errori di distrazione conviene anche scrivere il polinomio ordinato in modo decrescente e facendo entrambe le cose ottieni $4x^3+10x^2-24x=0$. Ripeto però che non c'è nessun obbligo; se per qualche strano motivo tu ritenessi conveniente lasciar le cose come stanno, è lecito.
Perfetto, infatti ho notato che lasciando le cose come stanno nella traccia, si arriva obbligatoriamente a moltiplicare per $ -1 $ alla fine, quindi conviene moltiplicare all'inizio lavorando in modo ordinato come mi hai consigliato!
Ho risolto questa equazione:
$ x^3-3x^2-2x-8=0 $
Ho dedotto che il valore di $ x $ che annulla l'equazione è $ x=4 $ bene, utilizzo Ruffini e arrivo ad avere $ x^2+x+2=0 $ bene.... Ma se ho $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-7 $ devo dire che l'unico valore che annulla l'equazione è $ 4 $ Non devo dire niente altro?
$ x^3-3x^2-2x-8=0 $
Ho dedotto che il valore di $ x $ che annulla l'equazione è $ x=4 $ bene, utilizzo Ruffini e arrivo ad avere $ x^2+x+2=0 $ bene.... Ma se ho $ Delta<0 $ precisamente $ Delta=-7 $ devo dire che l'unico valore che annulla l'equazione è $ 4 $
Non devo dire niente altro?
Non ho controllato i tuoi calcoli ma se sono giusti lo è anche la tua conclusione.
Ok! Grazie mille! 
Ho risolto questa:
$ 6x^3-x^2=1-6x $
Segue
$ 6x^3-x^2+6x-1=0 $
$ x^2(6x-1)+1(+6x-1)=0 $
Ovviamente la prima soluzione, non è possibile $ x^2+1=0 $ che conduce ad una soluzione assurda in $ R $, $ x^2=-1 $ perchè non esiste una potenza che elevata al quadrato da un valore $ x<0 $ , (ho detto bene) , mentre la seconda soluzione è $ x=1/6 $ .
Voglio acquisire il linguaggio matematico, spero di farcela quanto prima!
$ 6x^3-x^2=1-6x $
Segue
$ 6x^3-x^2+6x-1=0 $
$ x^2(6x-1)+1(+6x-1)=0 $
Ovviamente la prima soluzione, non è possibile $ x^2+1=0 $ che conduce ad una soluzione assurda in $ R $, $ x^2=-1 $ perchè non esiste una potenza che elevata al quadrato da un valore $ x<0 $ , (ho detto bene)
, mentre la seconda soluzione è $ x=1/6 $ . Voglio acquisire il linguaggio matematico, spero di farcela quanto prima!
Hai detto bene nel complesso. Poiché però ti preoccupi di acquisire un buon linguaggio, pignoleggio un po' e ti faccio le seguenti critiche:
- parlare di una potenza elevata al quadrato significa pensare a formule del tipo $(a^n)^2$ e non era quella la tua intenzione;
- la lettera $x$ è già stata usata in altro significato; meglio usarne un'altra o limitarsi a dire "un valore minore di zero";
- la voce del verbo dare è "dà", con l'accento;
- all'indicativo "dà" avrei preferito il congiuntivo "dia", ma su questo si può discutere.
Come vedi, sono tutte cosette da poco.
- parlare di una potenza elevata al quadrato significa pensare a formule del tipo $(a^n)^2$ e non era quella la tua intenzione;
- la lettera $x$ è già stata usata in altro significato; meglio usarne un'altra o limitarsi a dire "un valore minore di zero";
- la voce del verbo dare è "dà", con l'accento;
- all'indicativo "dà" avrei preferito il congiuntivo "dia", ma su questo si può discutere.
Come vedi, sono tutte cosette da poco.
"giammaria":
Hai detto bene nel complesso. Poiché però ti preoccupi di acquisire un buon linguaggio, pignoleggio un po' e ti faccio le seguenti critiche:
- parlare di una potenza elevata al quadrato significa pensare a formule del tipo $(a^n)^2$ e non era quella la tua intenzione;
- la lettera $x$ è già stata usata in altro significato; meglio usarne un'altra o limitarsi a dire "un valore minore di zero";
- la voce del verbo dare è "dà", con l'accento;
- all'indicativo "dà" avrei preferito il congiuntivo "dia", ma su questo si può discutere.
Come vedi, sono tutte cosette da poco.
Mi fa piacere ascoltare questi consigli
, voglio cercare di migliorare dal punto di vista matematico e del linguaggio, lo so che ho molto da lavorare, ma spero di bruciare le tappe!
Solo una cosa sulla prima equazione:
\(x^{5}-5x^{3}-8x^{2}+40=0\)
\(x^{3}\left(x^{2}-5\right)-8\left(x^{2}-5\right)=0\)
\(\left(x^{2}-5\right)\left(x^{3}-8\right)=0\)
\(x=\pm\sqrt{5} \lor x=2\)
O sto sbagliando qualcosa?
\(x^{5}-5x^{3}-8x^{2}+40=0\)
\(x^{3}\left(x^{2}-5\right)-8\left(x^{2}-5\right)=0\)
\(\left(x^{2}-5\right)\left(x^{3}-8\right)=0\)
\(x=\pm\sqrt{5} \lor x=2\)
O sto sbagliando qualcosa?
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