Equazione Parabola

[davicos]

Salve a tutti,
circa questo esercizio: "Una parabola ha vertice nell'origine, asse coincidente con l'asse y e direttrice di equazione $y=4/3$. Dopo aver individuato le coordinate del fuoco, scrivi l'equazione della parabola."

Io ho svolto così:

$F(0;-4/3)$

Quando poi vado a eguagliare le distanze PH e PF svolgendo i calcoli mi viene un coefficiente positivo, ma la parabola ha la concavità rivolta verso il basso.

Ho svolto così:

$ PH=|4/3+y| $

$ PF=sqrt((-4/3+y)^2+x^2) $

$ PH=PF rarr 16/9+y^2+8/3y=16/9+y^2-8/3y+x^2 $
$ y=3/16x^2 $

Non riesco a capire dove sbaglio.

Grazie!

[quantunquemente]

è il contrario
$PH=|y-4/3|$
$PF^2=(y+4/3)^2+x^2$

[davicos]

Ti allego la foto del grafico se posso.
La distanza PH non dovrebbe essere positiva, come ho scritto io??

[axpgn]

Guarda che è positiva anche la sua ...
Una distanza puoi sempre vederla come differenza tra coordinate ... di sicuro non come somma ...
D'altronde se la direttrice sta "sopra" il vertice, la concavità non può che essere verso il basso ...

[anto_zoolander]

Ma volendo potresti anche impostare un piccolo sistema

ha centro nell'origine

vuol dire $-b/(2a)=0 <=> 0$ e $-Delta/(4a)=0 <=> Delta=0$

considera che $Delta=0$ equivale a $b^2-4ac=0$ ma $b=0$ e $ane0$ quindi deve essere per forza $c=0$

hai la direttrice $y=4/3$

vuol dire $-(1+Delta)/(4a)=4/3$

\begin{equation}
\begin{cases}
b=0\\\Delta=0\\-(1+\Delta)/(4a)=4/3
\end{cases}
\end{equation}

quindi ottieni $-1/(4a)=4/3 <=> a=-3/16$

poi per il fuoco $(1-Delta)/(4a)=y_f$

$1/(4*(-3/16))=y_f$

$y_f=-4/3$ quindi l'equazione $y=-3/16x^2$

usando la definizione di parabola

presi i punti $P(x,y)ingamma$, $F(0,-4/3)$ e la retta $d: y-4/3=0$

$sqrt((x-0)^2+(y+4/3)^2)=|y-4/3|$

$x^2+(y+4/3)^2=(y-4/3)^2$

$x^2+y^2+16/9+8/3y=y^2+16/9-8/3y$

$x^2+16/3y=0$

$16/3y=-x^2 <=> y=-3/16x^2$

"davicos":

...Ho svolto così:

$ PH=|4/3+y| $ nain

la direttrice ha equazione $y=4/3$ in forma esplicita, mentre in forma implicita $y-4/3=0$
la 'formula' della distanza è

$|ax_0+by_0+c|/sqrt(a^2+b^2)$

considera che quì $c=-4/3$

$PH=|0+1*y+(-4/3)|/sqrt(0+1)$

...Non riesco a capire dove sbaglio.

Grazie!

[davicos]

Ahhh ok ho capito grazie!!