Equazione nel campo dei numeri complessi

[insule23]

salve avrei bisogno del vostro aiuto...
non sò come iniziare con questo esercizio..
Si risolva nel campo dei numeri complessi l'equazione:

[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )\left ( iz\bar{z}-4+i \right )=0[/math]

se mi potete aiutare ad impostarla...grazie

[Studente Anonimo]

Cerco di darti qualche spunto e poi ci mostri dei passaggi, ok? :) Allora, innanzitutto per via della legge di annullamento del prodotto la soluzione di quell'equazione sarà data semplicemente dall'unione delle soluzioni degli annullamenti dei singoli fattori. Per quanto riguarda il primo conviene innanzitutto razionalizzare il termine noto e poi calcolare le radici quarte di ciò che è uscito dalla razionalizzazione tramite la classica formula. Per quanto riguarda il secondo fattore, invece, conviene porre

[math]z:=a+i\,b[/math]

per

[math]a,\,b\in\mathbb{R}[/math]

. A quel punto esplicita

[math]a,\,b[/math]

e razionalizza. Dunque è sufficiente osservare ciò che è rimasto davanti agli occhi per concludere ;)

[insule23]

ho provato a svolgere il secondo fattore
con la sostituzione si ottiene:
i(x^2+y^2)-4+i=0
come risolvo questa equazione
aiutatemi sto impazzito
grazie.

[Studente Anonimo]

# insule23 :
con la sostituzione si ottiene:
i(x^2+y^2)-4+i=0

Perfetto.

# insule23 :
i(x^2+y^2)-4+i=0
come risolvo questa equazione

Sta scritto nel mio post precedente. Ossia

[math]i\left(x^2+y^2\right)-4+i=0 \; \Leftrightarrow \; x^2+y^2 = \frac{4-i}{i}\\[/math]

e a questo punto occorre razionalizzare il termine a membro destro.

Lo sai fare? :)

[insule23]

scusa ma sto avendo difficoltà a farlo...
poi come faccio con il fattore

[math](x^2+y^2 )[/math]

..

mi puoi aiutare..grazie

[Studente Anonimo]

Quando hai razionalizzato ne discutiamo.

[insule23]

razionalizzando ottengo che:

[math]\frac{4-i}{i}=-1-4i[/math]

e quindi ottengo

[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

come risolvo quest'ultima equazione...
aiutatemi..grazie

[Studente Anonimo]

# insule23 :
e quindi ottengo

[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

Ohhh ... certo che bisogna tirartele fuori con le pinze le cose a te :D

A questo punto ti aiuto con estremo piacere. Nota che si ha

[math]\begin{align} x^2+y^2=-1-4\,i \; & \Leftrightarrow \; \left(x^2+y^2\right)+i\,0=(-1)+i\,(-4) \\ & \Leftrightarrow \; \begin{cases} x^2 + y^2 = - 1 \\ 0=-4 \end{cases} \; \Rightarrow \; Sol = \{\}\end{align}[/math]

o ancora più semplicemente, ricordando che avevamo definito x, y come reali,
la somma dei loro quadrati non potrà mai essere pari ad un numero complesso,
esterno all'insieme dei reali. :)

A questo punto mostra i passaggi per il primo fattore e dato che hai mostrato
di saper razionalizzare molto bene esigo il passaggio :D

[insule23]

quindi l'equazione

[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

non ha soluzioni reali
giusto ??

Per quanto riguarda il primo fattore

[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

abbiamo che:

[math]z^4=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

quindi dobbiamo calcolare le radici quarte di

[math]\frac{1-i}{1+i}[/math]

che razionalizzando diventa:

[math]\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i-i+i^2}{1-i+i-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i[/math]

quindi dobbiamo trovare le radici quarte di -i che sono:

[math]z_{0}=cos\left ( -\frac{\pi }{8} \right )+ i sen \left ( -\frac{\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{1}=cos\left ( \frac{3\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{3\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{2}=cos\left ( -\frac{7\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{7\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{3}=cos\left ( -\frac{11\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{11\pi }{8} \right )
[/math]

è giusto??? fammi sapere....

[Studente Anonimo]

# insule23 :
quindi l'equazione

[math]x^2+y^2 = -1-4i[/math]

non ha soluzioni reali
giusto ??

Giusto. Ne consegue che il secondo fattore dell'equazione in oggetto non si annulla mai
(per alcun numero nel campo complesso).

# insule23 :
Per quanto riguarda il primo fattore

[math]\left ( z^4-\frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

abbiamo che:

[math]z^4=\left ( \frac{1-i}{1+i} \right )[/math]

quindi dobbiamo calcolare le radici quarte di

[math]\frac{1-i}{1+i}[/math]

che razionalizzando diventa:

[math]\frac{1-i}{1+i}\cdot \frac{1-i}{1-i}=\frac{1-i-i+i^2}{1-i+i-i^2}=\frac{1-2i-1}{1+1}=\frac{-2i}{2}=-i[/math]

Molto bene :)

# insule23 :
quindi dobbiamo trovare le radici quarte di -i che sono:

[math]z_{0}=cos\left ( -\frac{\pi }{8} \right )+ i sen \left ( -\frac{\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{1}=cos\left ( \frac{3\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{3\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{2}=cos\left ( -\frac{7\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{7\pi }{8} \right )[/math]

[math]z_{3}=cos\left ( -\frac{11\pi }{8} \right )+ i sen \left ( \frac{11\pi }{8} \right )
[/math]

è giusto??? fammi sapere....

Sì, è giusto. Meglio, ci sono un paio di errori di distrazione/battitura nei coseni di

[math]z_2[/math]

e

[math]z_3[/math]

dato che hai messo dei segni meno che non ci andavano (come hai scritto correttamente nei seni).


In sostanza, la soluzione dell'equazione in esame è data da

[math]z_0,\,z_1,\,z_2,\,z_3[/math]

. Qualora ti potesse interessare, tramite le formule di bisezione, si può risalire al valore algebrico del coseno di

[math]-\pi/8[/math]

che risulta pari a

[math]\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}[/math]

. A quel punto, tramite la periodicità di tali funzioni, si può risalire al valore di tutti gli altri. :)

[insule23]

si è vero errore di distrazione..
grazie mille..