Equazione logaritmica: non riesco a trovare l'errore
Salve a tutti, avrei dei problemi nella risoluzione di questa equazione logaritmica, è la prima volta che ne incontro una dove si presenta il "logaritmo del logaritmo". Qui di seguito riporto la traccia e tutti i passaggi svolti da me:
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+log_4(2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+1/2=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+log_(1/2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=3x^2+1$
$(3-sqrt1/sqrt2)x^2-2sqrt1/sqrt2+1=0"
Dopodiché ho trovato le radici.. che non corrispondono a quelle del libro.
Potreste gentilmente dirmi dove ho sbagliato e perché?
Grazie a tutti
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+log_4(2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+1/2=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)+log_(1/2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$log_(1/2)log_4(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=3x^2+1$
$(3-sqrt1/sqrt2)x^2-2sqrt1/sqrt2+1=0"
Dopodiché ho trovato le radici.. che non corrispondono a quelle del libro.
Potreste gentilmente dirmi dove ho sbagliato e perché?
Grazie a tutti
Risposte
L'errore è tra questi due passaggi
$log_(1/2)log_4(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=3x^2+1$
in quanto $1/sqrt2$ non è argomento del logaritmo in lase 4, ma solo di quello in base $1/2$, la scrittura corretta del primo dei due passaggi è
$log_(1/2)(sqrt1/sqrt2*log_4(2+x^2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
Solo che dopo questa correzione viene una cosa assurda
$log_(1/2)log_4(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
$(2+x^2)(sqrt1/sqrt2)=3x^2+1$
in quanto $1/sqrt2$ non è argomento del logaritmo in lase 4, ma solo di quello in base $1/2$, la scrittura corretta del primo dei due passaggi è
$log_(1/2)(sqrt1/sqrt2*log_4(2+x^2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
Solo che dopo questa correzione viene una cosa assurda
Il libro porta come risultato$ x=+-sqrt3$, la traccia l'ho ricontrollata ed è esatta...
E, invece, no, l'errore è proprio sulla traccia, nella quale manca una cavolo di parentesi
la forma corretta è
$log_(1/2)(log_4(2+x^2)+log_4(2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
la forma corretta è
$log_(1/2)(log_4(2+x^2)+log_4(2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$
Quindi basterebbe applicare la proprietà del prodotto nella prima tonda e dopo riscrivere il tutto senza $log_(1/2)log_4$, risolvo l'equazione e trovo le due radici. Giusto?
Se risolvessi come ho appena detto, arriverei alla forma $x^2=-3$ la quale è impossibile, dove ho sbagliato?
Partendo dalla forma corretta
$log_(1/2)(log_4(2+x^2)+log_4(2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$ tolgo illogaritmo in base $1/2$
$log_4(2+x^2)+log_4(2)=log_4(3x^2+1)$ da cui
$log_4(2*(2+x^2))=log_4(3x^2+1)$ e, infine
$4+2x^2=3x^2+1$
$-x^2=-3$
$x^2=3$
$x=+-sqrt3$
$log_(1/2)(log_4(2+x^2)+log_4(2))=log_(1/2)log_4(3x^2+1)$ tolgo illogaritmo in base $1/2$
$log_4(2+x^2)+log_4(2)=log_4(3x^2+1)$ da cui
$log_4(2*(2+x^2))=log_4(3x^2+1)$ e, infine
$4+2x^2=3x^2+1$
$-x^2=-3$
$x^2=3$
$x=+-sqrt3$
Si, ho capito.. grazie millle!! 
Bene! Prego.
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