Equazione letterale intera
Discutere la seguente equazione:
$2bx - 3a(x + 1) = 2a$
$2bx - 3ax - 3a = 2a$
$2bx - 3ax = 3a + 2a$
$x$$(2b -3a) = 5a$ $->$ $x =(5a)/ (2b - 3a )$
$1)$
$a $$!=$ $2/3 b$ $->$ $x = (5a)/(2b - 3a)$ l’equazione è determinata.
$x*(2b -3*4) = 5*4$ $->$ $x = (5*4)/( 2b - 3*4)$
$b$ $!=$ $3/2a$ $->$ $x = (5a)/ (2b - 3a )$ l’equazione è determinata.
$x(2*5 - 3a) = 5a$ $->$ $x = (5a) /(2*5 - 3a)$
$2)$
$a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.
$x(2*3 - 3*(2/3*3)) = 5*(2/3)$ $->$ $0 = 5$
$b = 3/2a $$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.
$x(2(3/2*4) - 3*4) = 5*4 $$->$$ 0 = 20$
$3)$
$b = 0$ $^^$ $a = 0$ l’equazione è indeterminata.
$x(2*0 - 3*0) = 5*0$ $->$ $0 = 0 $
Volevo sapere se nella discussione è stato tralasciato qualcosa.
grazie
$2bx - 3a(x + 1) = 2a$
$2bx - 3ax - 3a = 2a$
$2bx - 3ax = 3a + 2a$
$x$$(2b -3a) = 5a$ $->$ $x =(5a)/ (2b - 3a )$
$1)$
$a $$!=$ $2/3 b$ $->$ $x = (5a)/(2b - 3a)$ l’equazione è determinata.
$x*(2b -3*4) = 5*4$ $->$ $x = (5*4)/( 2b - 3*4)$
$b$ $!=$ $3/2a$ $->$ $x = (5a)/ (2b - 3a )$ l’equazione è determinata.
$x(2*5 - 3a) = 5a$ $->$ $x = (5a) /(2*5 - 3a)$
$2)$
$a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.
$x(2*3 - 3*(2/3*3)) = 5*(2/3)$ $->$ $0 = 5$
$b = 3/2a $$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.
$x(2(3/2*4) - 3*4) = 5*4 $$->$$ 0 = 20$
$3)$
$b = 0$ $^^$ $a = 0$ l’equazione è indeterminata.
$x(2*0 - 3*0) = 5*0$ $->$ $0 = 0 $
Volevo sapere se nella discussione è stato tralasciato qualcosa.
grazie
Risposte
"marcus112":
...
Volevo sapere se nella discussione è stato tralasciato qualcosa.
...
Direi di no.
Il dubbio mi è nato perchè sul mio libro portano come risultati
nel primo punto da me esposto solo la prima ipotesi: $a$$!=$$2/3b$
e nel secondo punto solo la prima ipotesi: $a=2/3b$$^^$ $b$$!=0$
La terza ipotesi è uguale a quella esposta.
Mi chiedo: si può fare anche così o è meglio come ho fatto io?
Grazie
nel primo punto da me esposto solo la prima ipotesi: $a$$!=$$2/3b$
e nel secondo punto solo la prima ipotesi: $a=2/3b$$^^$ $b$$!=0$
La terza ipotesi è uguale a quella esposta.
Mi chiedo: si può fare anche così o è meglio come ho fatto io?
Grazie
anche io ritengo che tu possa fare a meno di porre $b!=3/2a$ , poichè è la stessa cosa che dire $a!=2/3b$ ; la discussione è quindi comunque valida anche solo con la prima ipotesi
In modo analogo è inutile
" $a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile."
di cui non si capisce neanche la provenienza, a meno di considerarla conseguenza di
" $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile. "
che è invece necessaria
" $a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile."
di cui non si capisce neanche la provenienza, a meno di considerarla conseguenza di
" $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile. "
che è invece necessaria
In modo analogo è inutile
" $a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile." Sul libro però l'ipotesi considerata è questa!
di cui non si capisce neanche la provenienza, a meno di considerarla conseguenza di
" $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile. "
che è invece necessaria.
Quindi delle due ipotesi della discussione è meglio considerare: $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ o comunque va bene una delle due?
" $a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile." Sul libro però l'ipotesi considerata è questa!
di cui non si capisce neanche la provenienza, a meno di considerarla conseguenza di
" $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile. "
che è invece necessaria.
Quindi delle due ipotesi della discussione è meglio considerare: $b=3/2a$$^^$ a $!=$ $0$ o comunque va bene una delle due?
La vera frase è "l'equazione è impossibile se $2b-3a=0$ e $a \ne 0$"; dalla prima puoi ricavare indifferentemente $a$ o $b$. In presenza di due variabili è bene però che, se una limitazione ne esprime una in funzione dell'altra, le altre limitazioni si riferiscano a quest'altra.
Mi potresti fare un esempio...ho capito quello che volevi dire...per essere più sicuro.
Supponiamo che l'equazione sia $(a+b)x=2a-b$. Devo in primo luogo scegliere quale variabile lasciare per ultima (e quindi inizierò ricavando l'altra); scelgo di lasciare $a$, senza alcun motivo particolare.
Se $a+b \ne0$, cioè se $b \ne -a$ l'equazione è determinata e la risolvo.
Se $a+b=0$, cioè se $b=-a$, l'equazione può essere indeterminata o impossibile, e precisamente
- è indeterminata se $2a-b=0$ cioè se $2a-(-a)=0 ->3a=0 ->a=0$
- e impossibile altrimenti, cioè se $a \ne 0$
Se $a+b \ne0$, cioè se $b \ne -a$ l'equazione è determinata e la risolvo.
Se $a+b=0$, cioè se $b=-a$, l'equazione può essere indeterminata o impossibile, e precisamente
- è indeterminata se $2a-b=0$ cioè se $2a-(-a)=0 ->3a=0 ->a=0$
- e impossibile altrimenti, cioè se $a \ne 0$
Proverò a discuterne altre...per il momento inizio da questa:
$x/b - (x + 1)/(b + 1) + (x - 2)/(b - 1) = (2 - b)/(1 - b)$
Supposto b diverso da 1, -1, 0 l'equazione non perde significato.
Apriamo la discussione:
$b ne 1, b ne -1, b ne 0, 2b + b^2 ne 1$ allora l'equazione è determinata;
$2b + b^2 = 1$ allora l'equazione è indeterminata.
$x/b - (x + 1)/(b + 1) + (x - 2)/(b - 1) = (2 - b)/(1 - b)$
Supposto b diverso da 1, -1, 0 l'equazione non perde significato.
Apriamo la discussione:
$b ne 1, b ne -1, b ne 0, 2b + b^2 ne 1$ allora l'equazione è determinata;
$2b + b^2 = 1$ allora l'equazione è indeterminata.
No, non ci siamo ancora. Qui c'è una difficoltà in più, e cioè la presenza iniziale di denominatori e se uno di essi si annulla l'equazione perde significato: giusta la frase "Supposto b diverso da 1, -1, 0 l'equazione non perde significato". Poi però devi dare denominatore comune e fare i vari calcoli; alla fine, io ottengo $x(b^2+2b-1)=b(b^2+2b-1)$ e la discussione è: se $b^2+2b-1 \ne0$ (che bisognerebbe risolvere, ma puoi riuscirci solo conoscendo le equazioni di secondo grado) l'equazione è determinata e la soluzione è $x=b$; altrimenti l'equazione è indeterminata.
Per meglio spiegarmi, faccio qualche altro esempio; tutti partono dall'ipotesi che i denominatori iniziali siano quelli da te proposti e che a calcoli fatti si ottenga l'equazione che indico
es. 1) $bx(b-2)=5b$: poichè b deve essere diverso da 0, posso semplificarlo, e resta x(b-2)=5. L'equazione è determinata (e la risolvo) se $b \ne2$, impossibile altrimenti
es. 2) $2x(b+1)(b-3)(b+3)=2b(b-3)$: trascuro il (b+1) che non può essere 0 pena la perdita di significato. L'equazione è determinata se $b \ne \pm3$ (e la risolvo, ovviamente senza trascurare nulla), indeterminata se b=3 e impossibile se b=-3.
Per meglio spiegarmi, faccio qualche altro esempio; tutti partono dall'ipotesi che i denominatori iniziali siano quelli da te proposti e che a calcoli fatti si ottenga l'equazione che indico
es. 1) $bx(b-2)=5b$: poichè b deve essere diverso da 0, posso semplificarlo, e resta x(b-2)=5. L'equazione è determinata (e la risolvo) se $b \ne2$, impossibile altrimenti
es. 2) $2x(b+1)(b-3)(b+3)=2b(b-3)$: trascuro il (b+1) che non può essere 0 pena la perdita di significato. L'equazione è determinata se $b \ne \pm3$ (e la risolvo, ovviamente senza trascurare nulla), indeterminata se b=3 e impossibile se b=-3.
No, non ci siamo ancora. Qui c'è una difficoltà in più, e cioè la presenza iniziale di denominatori e se uno di essi si annulla l'equazione perde significato: giusta la frase "Supposto b diverso da 1, -1, 0 l'equazione non perde significato". Poi però devi dare denominatore comune e fare i vari calcoli; alla fine, io ottengo $x(b^2+2b-1)=b(b^2+2b-1)$ e la discussione è: se $b^2+2b-1 \ne0$ (che bisognerebbe risolvere, ma puoi riuscirci solo conoscendo le equazioni di secondo grado) l'equazione è determinata e la soluzione è $x=b$; altrimenti l'equazione è indeterminata.
Grazie per i chiarimenti...non ho messo i vari passaggi ma anche io ottengo alla fine:
$x(b^2+2b-1)=b(b^2+2b-1)$ con soluzione: $x=b$
per cui la mia discussione è:
1) b diverso da 1, -1, 0 e se $b^2+2b-1 \ne0$ allora l'equazione è determinata;
2) se invece $b^2+2b-1 =0$ allora è indeterminata.
I valori che fanno perdere significato vanno anche considerati affinchè l'equazione sia determinata...mi sembrava che fosse così!!
Grazie per i chiarimenti...non ho messo i vari passaggi ma anche io ottengo alla fine:
$x(b^2+2b-1)=b(b^2+2b-1)$ con soluzione: $x=b$
per cui la mia discussione è:
1) b diverso da 1, -1, 0 e se $b^2+2b-1 \ne0$ allora l'equazione è determinata;
2) se invece $b^2+2b-1 =0$ allora è indeterminata.
I valori che fanno perdere significato vanno anche considerati affinchè l'equazione sia determinata...mi sembrava che fosse così!!
Sì, hai ragione. Mi aveva messo fuori strada il tuo $2b+b^2 \ne 1$ in parte perchè avevo distrattamente letto 0 al posto di 1 al secondo membro e in parte perchè non l'avevi giustificato dicendo di aver fatto i calcoli e scrivendo l'equazione trovata.
Ad essere pignoli si può però obiettare che i valori che fanno perdere significato vanno considerati anche affinché l'equazione sia indeterminata (o, in altri esercizi, impossibile): per questo di solito si fa una prima distinzione fra equazione senza senso o con senso; nel solo secondo caso (e non si perde tempo a ripeterlo) si distingue fra determinata, indeterminata e impossibile.
Ad essere pignoli si può però obiettare che i valori che fanno perdere significato vanno considerati anche affinché l'equazione sia indeterminata (o, in altri esercizi, impossibile): per questo di solito si fa una prima distinzione fra equazione senza senso o con senso; nel solo secondo caso (e non si perde tempo a ripeterlo) si distingue fra determinata, indeterminata e impossibile.
Ad essere pignoli si può però obiettare che i valori che fanno perdere significato vanno considerati anche affinché l'equazione sia indeterminata (o, in altri esercizi, impossibile). Bene! Faccio un altro esempio:
$x/(k - 1) + (2x - 1)/(1 - k^2) = x/(k + 1)$
Supposto $k !=1 $$^^$ $ k!=-1$ l'equazione non perde significato.
Risolvendo i calcoli arrivo a:
$0x = -1 $$->$$ x = (- 1)/0$ per cui l'equazione è impossibile.
Riassumendo:
Per $k =1 $$^^$ $ k=-1$ l'equazione perde significato
Per $k !=1 $$^^$ $ k!=-1$ l'equazione è impossibile.
Quello che voglio dire è questo: come hai detto pure tu, mi sembra di aver capito così,
affinchè l'equazione sia impossibile vanno anche considerati i valori che fanno perdere significato all'equazione di partenza.
E' questo avviene anche quando l'equazione è indeterminata.
Intanto grazie
$x/(k - 1) + (2x - 1)/(1 - k^2) = x/(k + 1)$
Supposto $k !=1 $$^^$ $ k!=-1$ l'equazione non perde significato.
Risolvendo i calcoli arrivo a:
$0x = -1 $$->$$ x = (- 1)/0$ per cui l'equazione è impossibile.
Riassumendo:
Per $k =1 $$^^$ $ k=-1$ l'equazione perde significato
Per $k !=1 $$^^$ $ k!=-1$ l'equazione è impossibile.
Quello che voglio dire è questo: come hai detto pure tu, mi sembra di aver capito così,
affinchè l'equazione sia impossibile vanno anche considerati i valori che fanno perdere significato all'equazione di partenza.
E' questo avviene anche quando l'equazione è indeterminata.
Intanto grazie
Sono d'accordo, a parte che mi pare tu abbia usato il simbolo dell'intersezione al posto di quello dell'unione nella riga in cui concludi con "perde di significato"
hai ragione...una svista!
In questa equazione:
$(2x)/(1 + 3a) - 1/(3a^2 - a) +( (1 + 3a^3)x)/a = a(1 + x) - 2/(1 - 9a^2)$ con a $in$ Q cosa si intende..
cioè nella risoluzione perchè si deve sapere che a $in$ Q
Intanto supposto $a $$!=$$ 1/3 $$^^$$ a$ $!=$$ - 1/3 $$^^$$ a $$!=$$ 0$ l'equazione non perde significato.
Eseguiti i calcoli arrivo a: $x(3a - 1)(9a^4 - a^2 + 3a + 3) = 9a^4 - a^2 + 3a + 3$
Apriamo la discussione:
$a = 1/3 vv a = - 1/3 vv a = 0$ l'equazione perde significato.
$a!= 1/3 ^^ a != - 1/3 ^^a != 0 ^^ 9a^4 - a^2 + 3a + 3 != 0$ l'equazione è determinata con soluzione: $1/(3a-1)$
$a!= 1/3 ^^ a != - 1/3 ^^ a != 0 ^^ 9a^4 - a^2 + 3a + 3 = 0$ l'equazione è indeterminata.
In questa equazione $3a - 1 != 0$ poichè il valore di $a$ doveva essere $1/3$...intendevo dire: poichè il valore di $a$ che rende
vera l'uguaglianza $3a-1=0$ è $1/3$ l'equazione non sarà mai impossibile.
Spero di essere stato chiaro.
In questa equazione:
$(2x)/(1 + 3a) - 1/(3a^2 - a) +( (1 + 3a^3)x)/a = a(1 + x) - 2/(1 - 9a^2)$ con a $in$ Q cosa si intende..
cioè nella risoluzione perchè si deve sapere che a $in$ Q
Intanto supposto $a $$!=$$ 1/3 $$^^$$ a$ $!=$$ - 1/3 $$^^$$ a $$!=$$ 0$ l'equazione non perde significato.
Eseguiti i calcoli arrivo a: $x(3a - 1)(9a^4 - a^2 + 3a + 3) = 9a^4 - a^2 + 3a + 3$
Apriamo la discussione:
$a = 1/3 vv a = - 1/3 vv a = 0$ l'equazione perde significato.
$a!= 1/3 ^^ a != - 1/3 ^^a != 0 ^^ 9a^4 - a^2 + 3a + 3 != 0$ l'equazione è determinata con soluzione: $1/(3a-1)$
$a!= 1/3 ^^ a != - 1/3 ^^ a != 0 ^^ 9a^4 - a^2 + 3a + 3 = 0$ l'equazione è indeterminata.
In questa equazione $3a - 1 != 0$ poichè il valore di $a$ doveva essere $1/3$...intendevo dire: poichè il valore di $a$ che rende
vera l'uguaglianza $3a-1=0$ è $1/3$ l'equazione non sarà mai impossibile.
Spero di essere stato chiaro.
Bisognerebbe risolvere tutte le equazioni che si incontrano, e quindi anche la $9a^4-a^2+3a+3=0$, ed è evidente che questo supera le capacità che puoi avere al tuo livello di studi; l'ipotesi che a appartenga a Q ti dice di non farlo. Il ragionamento è il seguente: se ci fosse un numero razionale $a$ soluzione dell'equazione, posto $a=p/q$ (con p, q interi e q non nullo), la mia equazione sarebbe scrivibile come $(qa-p)(\ldots)=0$. Tentando di scomporre con la regola di Ruffini noto che questo non avviene, quindi non ci sono soluzioni razionali.
Da quello che ho capito il valore di$a$ ha dominio nei numeri complessi....
Volevo essere sicuro della discussione di alcune equazioni, propongo la prima:
$(x - a)/(2b) + (3b - x)/a = (bx - 3b^2)/(a^2 - ab)$
Supposto $b!= 0 ^^ a != 0 ^^ a != b$ l'equazione non perde significato.
Facendo i calcoli si arriva a:
$ax(a - 3b) = a(a - 3b)(a + 2b)$
Discussione:
$b = 0 vv a = 0 vv a = b$
L’equazione perde significato
$b != 0 ^^ a != 0 ^^ a != b ^^ b != a/3$
L’equazione è determinata con soluzione $x=a+2b$
$b != 0 ^^ a != 0 ^^ a != b ^^ b = a/3$
L’equazione è indeterminata.
Grazie sempre per la collaborazione.
Volevo essere sicuro della discussione di alcune equazioni, propongo la prima:
$(x - a)/(2b) + (3b - x)/a = (bx - 3b^2)/(a^2 - ab)$
Supposto $b!= 0 ^^ a != 0 ^^ a != b$ l'equazione non perde significato.
Facendo i calcoli si arriva a:
$ax(a - 3b) = a(a - 3b)(a + 2b)$
Discussione:
$b = 0 vv a = 0 vv a = b$
L’equazione perde significato
$b != 0 ^^ a != 0 ^^ a != b ^^ b != a/3$
L’equazione è determinata con soluzione $x=a+2b$
$b != 0 ^^ a != 0 ^^ a != b ^^ b = a/3$
L’equazione è indeterminata.
Grazie sempre per la collaborazione.
Giusto. Sarebbe stato più elegante scrivere come ultima condizione $a=3b$ perchè la penultima è stata scritta come $a \ne b$; in alternativa, potevi iniziarle entrambe con la lettera b.
Cioè per essere più elegante e quindi anche più chiaro dovevo scrivere:
$b=0vva=0vva=3b$ poichè avevo scritto $a!=b$ nel punto in cui discuto l'equazione determinata;
in altenativa: $b=a$ e $b!=a$
$b=0vva=0vva=3b$ poichè avevo scritto $a!=b$ nel punto in cui discuto l'equazione determinata;
in altenativa: $b=a$ e $b!=a$
All'incirca (qualche cosa poco chiara nel tuo ultimo intervento). Devi stabilire quale lettera lasciare per ultima: se stabilisci di lasciare $a$, allora scrivi $b!=a $ e $b!=a/3$; se invece stabilisci di lasciare $b$, scrivi $a!=b$ e $a!=3b$.
Come ti ho già detto in un passato intervento, l'abitudine è però di non ripetersi, e scrivere la soluzione semplicemente così:
1) Se $(b=0) vv(a=0) vv(b=a)$ l'equazione perde significato
2) Altrimenti (cioè se $(b!=0)^^(a!=0)^^(b!=a)$ che però di solito non viene scritto)
2a) Se $b=a/3$ l'equazione è indeterminata
2b)Se $b!=a/3$ l'equazione è determinata con soluzione $x=a+2b$
Ho messo le condizioni fra parentesi solo per migliorare la leggibilità, compromessa dalle spaziature del programma; ho sempre lasciato come ultima lettera $a$; ho usato elenchi numerati al posto di suddivisioni in vari casi.
Come ti ho già detto in un passato intervento, l'abitudine è però di non ripetersi, e scrivere la soluzione semplicemente così:
1) Se $(b=0) vv(a=0) vv(b=a)$ l'equazione perde significato
2) Altrimenti (cioè se $(b!=0)^^(a!=0)^^(b!=a)$ che però di solito non viene scritto)
2a) Se $b=a/3$ l'equazione è indeterminata
2b)Se $b!=a/3$ l'equazione è determinata con soluzione $x=a+2b$
Ho messo le condizioni fra parentesi solo per migliorare la leggibilità, compromessa dalle spaziature del programma; ho sempre lasciato come ultima lettera $a$; ho usato elenchi numerati al posto di suddivisioni in vari casi.
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