Equazione letterale intera

[marcus1121]

Discutere la seguente equazione:



$2bx - 3a(x + 1) = 2a$

$2bx - 3ax - 3a = 2a$

$2bx - 3ax = 3a + 2a$

$x$$(2b -3a) = 5a$ $->$ $x =(5a)/ (2b - 3a )$


$1)$

$a $$!=$ $2/3 b$ $->$ $x = (5a)/(2b - 3a)$ l’equazione è determinata.

$x*(2b -3*4) = 5*4$ $->$ $x = (5*4)/( 2b - 3*4)$


$b$ $!=$ $3/2a$ $->$ $x = (5a)/ (2b - 3a )$ l’equazione è determinata.

$x(2*5 - 3a) = 5a$ $->$ $x = (5a) /(2*5 - 3a)$



$2)$

$a = 2/3b$ $^^$ b $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.

$x(2*3 - 3*(2/3*3)) = 5*(2/3)$ $->$ $0 = 5$


$b = 3/2a $$^^$ a $!=$ $0$ l’equazione è impossibile.

$x(2(3/2*4) - 3*4) = 5*4 $$->$$ 0 = 20$


$3)$

$b = 0$ $^^$ $a = 0$ l’equazione è indeterminata.

$x(2*0 - 3*0) = 5*0$ $->$ $0 = 0 $



Volevo sapere se nella discussione è stato tralasciato qualcosa.

grazie

[marcus1121]

Vediamo se ho messo a frutto i buoni consigli:

Provo a discutere l’equazione con l’aiuto dei tuoi suggerimenti:

$(a + x - b)/(ab + 2b^2) - (a - x + b)/(ab - 2b^2) = x/b - 3$

Calcolando arrivo a:

$- x(- 2a + a^2 - 4b^2) = - 3b(- 2a + a^2 - 4b^2)$

1) se $ (a = 2b) vv( a = - 2b) vv (b=0)$ l’equazione è priva di significato.

Ho lasciato per ultimo la lettera $b$ quindi non ho considerato: $b = a/2 ^^ b = -a/2$

2) $(a!= 2b) ^^ (a != - 2b) ^^ (b != 0) ^^ (a!= 1 - sqrt(4b^2 + 1)) ^^ (a != sqrt(4b^2 + 1) + 1)$

L’equazione è determinata con soluzione $x=3b$

3) $(a!= 2b) ^^ (a != - 2b) ^^ (b != 0) ^^( a= 1 - sqrt(4b^2 + 1) vv( a = sqrt(4b^2 + 1) + 1)$

L’equazione è indeterminata.

Ho voluto considerare anche i valori che fanno perdere significato nel punto 1 e 2.
So che potevo, anche, non metterli.

[giammaria2]

Benissimo.

[marcus1121]

Data l'equazione:

$x/(a + b) + (x - b)/(a - b) + 1 = (2b - 3a)/(b - a)$

risolvendo arriviamo a:

$2ax = 2a(a + b)$

1) $(a = -b) vv (a = b)$ l'equazione perde significato

2) $(a != b) ^^( a != -b) ^^ (a = 0)$ l'equazione è indeterminata (potevo anche mettere solo:$a=b$)

3) $(a != b) ^^( a != -b) ^^ (a != 0)$ l'equazione è determinata con soluzione : $a+b$

(potevo anche in questo caso mettere solo:$a!=b$)

Cerco di acquisire più sicurezza.

[giammaria2]

"marcus112": (potevo anche mettere solo:$a=b$)

Non mi pare; potevi mettere solo $(a=0)^^(b!=0)$.
Non mi convince neanche l'ulteriore "potevo anche ...": se a=-3 e b=3, l'equazione non è determinata, ma priva di significato.

[marcus1121]

Errore di distrazione intendevo:
potevo anche mettere solo:$a=0$ nel secondo punto.
In questo caso si può anche evitare di mettere $b!= 0$?

Potevo anche mettere solo: $a!=0$ nel terzo punto.

[giammaria2]

Puoi risponderti da solo. Secondo punto: sostituisci a=0 nell'equazione di partenza e in quella di arrivo. Terzo punto: metti al posto di a un numero diverso da zero nelle stesse equazioni. In un caso e nell'altro, si può togliere la limitazione su b?

[marcus1121]

Sostituendo $a=0$ e facendo i calcoli si ottiene:

Nell'equazione di partenza: $2 = 2$

In quella di arrivo: $0 = 0$

Le due equazioni risultano indeterminate.

Sostituendo un numero diverso da $a$ e facendo i calcoli si ottiene:

Nell'equazione di partenza: $x = b + 2$

$2(2)x = 2(2)(2 + b) -> x = b + 2$

Le due equazioni risultano determinate.

Direi quindi che la limitazione su $b$ si può togliere.

[giammaria2]

Sostituendo a=0 nell'equazione di partenza si ottiene
$x/b+(x-b)/(-b)+1=(2b)/b$
che perde significato se b=0. Quindi la limitazione $b!=0$ è necessaria.
Ragionamento analogo per l'altro caso.

[marcus1121]

Nell'equazione precedente ho capito l'errore che facevo...ne propongo un'altra.

Data l'equazione:

$(2x + 3a)/(2(4a - b)) + (4x + 2a + 3b)/(2(4a + b)) - (2x - a)(b + a)/(16a^2 - b^2) = a(16a + b)/(16a^2 - b^2)$

facendo i calcoli si arriva a:

$2x(10a - 3b) = (a - b)(10a - 3b)$

1) $(b = 4a)vv ( b = - 4a)$ l'equazione è priva di significato.

2)$ (b != 4a) ^^ (b!= - 4a) ^^ b = 10a/3 $ l'equazione è indeterminata.


3)$(b != 4a) ^^( b != - 4a) ^^ (b != 10a/3)$ l'equazione è determinata con soluzione $x = (a - b)/2$


Nel secondo punto è giusto anche dire: l'equazione è indeterminata per $(b=10a/3 ) ^^ (b!=a=0)$

Nel terzo punto è giusto anche dire: l'equazione è determinata per $(b!=10a/3) ^^( b!=a=0)$


Infatti per quei valori l'equazione iniziale è priva di significato.

[giammaria2]

Tutto bene fino alle ultime tre righe.
Dove dici "nel secondo punto ... " la conclusione è assurda: non possono valere contemporaneamente $b=(10a)/3$ e $a!=(3b)/10$. Se proprio vuoi dire le cose in altro modo, sostituisci nelle altre formule il valore di b, così: $(10a)/3 != \pm 4a harr 10a!=\pm12a harr a!=0$. Quindi le condizioni sono scrivibili come $(b=(10a)/3)^^(a!=0)$.
Nel terzo punto richiediamo che b sia diverso da tre multipli di a; non è possibile riunire in qualche modo i tre casi. Ovviamente sto usando la parola "multipli" in senso lato, includendo anche quelli che potrei chiamare "mulltipli frazionari".

[marcus1121]

Quindi nei punti:

$1)$

$2)$

$3)$

tutto bene.

"Nel secondo punto intendevo dire in modo diverso, ho sicuramente sbagliato a scrivere,
che l'equazione:
$2x(10a - 3b) = (a - b)(10a - 3b)$ è indeterminata se $b=10a/3$ (considerando anche i valori che fanno perdere significato
all'equazione iniziale).
L'equazione di arrivo sarebbe anche indeterminata per $a=b=0 $ ma per tale valore l'equazione di partenza è priva di significato.
Quindi avrei dovuto scrivere: $(b=10a/3)^^(a!=0)$

Nel terzo punto intendevo fare il ragionamento analogo: l'equazione è determinata (considerendo i valori che fanno perdere significato)se
$10a - 3b = 0 -> a = 3b/10 vv b = 10a/3 vv a = b = 0$

cioè: $(b!=10a/3)$ e $a ^^ b$$!=$ da $0$ ma bastava, dire (visto che ho considerato la lettera $b$) $(b!=10a/3)$

grazie sempre per le delucidazioni.

[giammaria2]

La tua ultima frase mi è incomprensibile, e direi che quello che hai scritto non è quello che volevi dire.
Il ragionamento giusto è: l'equazione è determinata se
(ha senso, e quindi $b!=pm 4a$) $^^$ (il coefficiente di x non si annulla. e quindi $b!=10/3a$)
L'ultima condizione non comprende le prime due e non vedo come raggruppare tutto assieme, quindi devi scrivere il tutto.
Ho notato che hai una forte tendenza a considerare i casi in cui le lettere si annullano; è vero che capita spesso che siano casi importanti, ma se non ci sono ragionamenti specifici che conducano lì, non va fatto.

[marcus1121]

Cerco di capire meglio a piccoli passi eliminando dubbi e perplessità

Data l'equazione:

$(2x + 3a)/(2(4a - b)) + (4x + 2a + 3b)/(2(4a + b)) - (2x - a)(b + a)/(16a^2 - b^2) = a(16a + b)/(16a^2 - b^2)$

facendo i calcoli si arriva a:

$2x(10a - 3b) = (a - b)(10a - 3b)$

Parto dalla lettera b per definire il tutto.

1) $(b = 4a)vv ( b = - 4a)$ l'equazione è priva di significato.

2)$ (b != 4a) ^^ (b!= - 4a) ^^ b = 10a/3 $ l'equazione è indeterminata.


3)$(b != 4a) ^^( b != - 4a) ^^ (b != 10a/3)$ l'equazione è determinata con soluzione $x = (a - b)/2$

Fin qua ci siamo!


Nel secondo punto è giusto anche dire: l'equazione è indeterminata per $(b=10a/3 )$ senza prendere in considerazione

i valori che fanno perdere significato? Come mi sembra di aver capito, in questo caso, non fanno parte del ragionamento.(ovvero sarebbe una ripetizione)

Nel terzo punto invece esiste un modo diverso per dire che l'equazione è determinata?

[giammaria2]

Risposte: nel secondo punto puoi limitarti a dire la condizione che indichi, sottintendendo che le condizioni di esistenza siano verificate; naturalmente devi averle scritte prima, e il sottintenderle serve solo ad evitare di ripetersi (o meglio, prima hai scritto le condizioni di non-esistenza, ma le due informazioni si equivalgono).
Lo stesso vale nel terzo punto: puoi indicare la sola ultima condizione, purchè tu abbia scritto prima le condizioni di esistenza.

[marcus1121]

Osserviamo questa equazione precedentemente discussa:

$x/(a + b) + (x - b)/(a - b) + 1 = (2b - 3a)/(b - a)$

risolvendo arriviamo a:

$2ax = 2a(a + b)$

1) $(a = -b) vv (a = b)$ l'equazione perde significato (Queste sono le condizioni di esistenza)

2) $(a != b) ^^( a != -b) ^^ (a = 0)$ l'equazione è indeterminata

Potevo anche mettere solo:$a=0$) e non per forza $(a=0)^^(b!=0)$. come dici tu:

nel secondo punto puoi limitarti a dire la condizione che indichi, sottintendendo che le condizioni di esistenza siano verificate; naturalmente devi averle scritte prima, e il sottintenderle serve solo ad evitare di ripetersi.

3) $(a != b) ^^( a != -b) ^^ (a != 0)$ l'equazione è determinata con soluzione : $a+b$

(potevo anche in questo caso mettere solo:$a!=0$)

Spero di aver inteso bene...

Grazie per i chiarimenti.